Dadas as funções F(s) abaixo, determine as correspondentes funções anti-transformadas f(t) :
F(s)=2 s+6s^2+6 s+8

Passo 1

Beleza, vamos primeiro entender o que o exercício pede. A gente tem uma função no domínio de Laplace
F(s) = 2s + 6s^2 + 6s + 8
e precisa encontrar a anti-transformada de Laplace , ou seja, a função no tempo que gera esse .
Conteúdo envolvido:
  • Definição de transformada inversa de Laplace.
  • Uso de frações parciais para decompor em coisas do tipo .
  • Tabela básica de transformadas (por exemplo, ).

Passo 2

Primeiro passo prático: fatorar o denominador
s^2 + 6s + 8 = (s + 2)(s + 4)
Isso é importante porque, na hora de inverter, a gente quer somar termos simples como .

Passo 3

Agora vem a decomposição em frações parciais. Escrevemos
2s + 6(s+2)(s+4) = As+2 + Bs+4
Multiplicando ambos os lados por 2s + 6 = A(s+4) + B(s+2) , fica
2s + 6 = (A+B),s + (4A + 2B)
Expandindo:
Igualando coeficientes:
  1. (coeficiente de )
  2. (termo constante)

Passo 4

Resolver o sistema:
De 4A + 2(2 - A) = 6 Rightarrow 4A + 4 - 2A = 6 Rightarrow 2A = 2 Rightarrow A = 1 temos F(s) = 1s+2 + 1s+4 . Substituindo em :
Logo .
Assim

Passo 5

Agora usamos a tabela de transformada inversa de Laplace:
f(t) = L^-1F(s) = L^-1!tfrac1s+2 + L^-1!tfrac1s+4 = e^-2t + e^-4t
Então

Resposta

boxedf(t) = e^-2t + e^-4t

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