Dadas as funções F(s) abaixo, determine as correspondentes funções anti-transformadas f(t) :
F(s)=s+1s(s^2+4 s+4)

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente achar a anti-transformada de Laplace de
F(s)=s+1s,(s^2+4s+4)
Isso é conteúdo de Transformadas de Laplace (mais especificamente, a parte de inversão).
O que vamos precisar:
  • Factorar o polinômio do denominador.
  • Fazer decomposição em frações parciais.
  • Usar tabelinha de transformadas básicas (por ex., , , , etc.).

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador:
s^2 + 4s + 4 = (s+2)^2
Então podemos reescrever
F(s)=s+1s,(s+2)^2

Passo 3

Agora, decompondo em frações parciais:
s+1s,(s+2)^2 =As+Bs+2+C(s+2)^2
Multiplicando tudo por s+1 = A,(s+2)^2 ;+; B,s,(s+2);+;C,s , dá:

Passo 4

Expandindo e juntando termos em potências de A(s^2+4s+4)+B(s^2+2s)+C,s =(A+B),s^2 + (4A+2B+C),s + 4A :
Comparando com , temos o sistema:
Daqui, . Da equação 1, .
Plugando em 2: .

Passo 5

Então
F(s) =1/4s-1/4s+2+1/2(s+2)^2
Agora aplicamos a inversa de cada pedacinho:
  • f(t) =14cdot 1 ;-;14,e^-2t;+;12,t,e^-2t .
  • .
  • .
Juntando tudo com os coeficientes:

Resposta

boxedf(t)=14 ;-;14,e^-2t;+;12,t,e^-2t

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