Dadas as funções F(s) abaixo, determine as correspondentes funções anti-transformadas f(t) :
F(s)=2 s+1(s+1)^2 s^2

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente achar a anti-transformada inversa de Laplace de
F(s)=2s+1(s+1)^2,s^2
Ou seja, estamos na matéria de Transformadas de Laplace e, mais especificamente, queremos usar frações parciais para depois aplicar tabelas de transformada inversa. Vamos precisar:
  • Entender decomposição em frações parciais.
  • Conhecer as transformadas inversas básicas, tipo
    e

Passo 2

Começamos pela decomposição em frações parciais. Suponha:
2s+1(s+1)^2,s^2 =As+Bs^2+Cs+1+D(s+1)^2
Multiplicando ambos os lados por 2s+1 = A;s,(s+1)^2 + B;(s+1)^2 + C;s^2,(s+1) + D;s^2 , fica:

Passo 3

A gente encontra e plugando valores fáceis:
  • Se :
  • Se :

Passo 4

Agora expandimos o resto pra achar Al(s^3+2s^2+sr) + Cl(s^3+s^2r) + (s^2+2s+1) % do B=1 - s^2 % do D=-1 e .
Escrevendo o RHS geral:
Agrupando coeficientes de potências de :
  • :
  • :
  • :
  • termo livre:
Isso tem de igualar a . Então:

  1. Daí .

Passo 5

Ficou só
F(s)=1s^2-1(s+1)^2
Agora aplicamos transformada inversa:

e

Resposta

f(t)=t ;-; t,e^-t ou f(t)=tl(1-e^-tr)

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