Dadas as funções abaixo, determine suas derivadas, em relação ao seu argumento, até segunda ordem.
4.
x(t)=\frac{x_{0}}{2}+v_{0}\left(t-t_{0}\right)+\frac{x_{0}}{2} e^{-\left(t-t_{0}\right) / t_{0}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas de primeira e segunda ordem, em relação a t, da função
x(t)=\frac{x_{0}}{2}+v_{0}\bigl(t-t_{0}\bigr)+\frac{x_{0}}{2}\,e^{-\bigl(t-t_{0}\bigr)/t_{0}}.
Para isso usaremos as regras básicas de derivação (derivada de constante, derivada de t, soma de funções) e a regra da cadeia na parte exponencial.

Passo 2

Calculando a derivada primeira x'(t)=\frac{dx}{dt}:
— A derivada de \tfrac{x_{0}}{2} é zero, pois é constante.
— A derivada de v_{0}(t-t_{0}) em relação a t é v_{0}.
— Para \frac{x_{0}}{2}e^{-(t-t_{0})/t_{0}}, aplicamos regra da cadeia:
\frac{d}{dt}\Bigl[e^{-(t-t_{0})/t_{0}}\Bigr] =e^{-(t-t_{0})/t_{0}}\cdot\frac{d}{dt}\Bigl[-\tfrac{(t-t_{0})}{t_{0}}\Bigr] =e^{-(t-t_{0})/t_{0}}\cdot\Bigl(-\frac{1}{t_{0}}\Bigr).
Logo,
x'(t) =v_{0} +\frac{x_{0}}{2}\!\times\!e^{-(t-t_{0})/t_{0}}\!\times\!\Bigl(-\frac{1}{t_{0}}\Bigr) = v_{0}-\frac{x_{0}}{2\,t_{0}}\,e^{-(t-t_{0})/t_{0}}.

Passo 3

Agora a derivada segunda x''(t)=\frac{d^2x}{dt^2}:
— A derivada de v_{0} é zero.
— A derivada de -\frac{x_{0}}{2\,t_{0}}e^{-(t-t_{0})/t_{0}} usa novamente a cadeia:
\frac{d}{dt}\Bigl[e^{-(t-t_{0})/t_{0}}\Bigr] =e^{-(t-t_{0})/t_{0}}\cdot\Bigl(-\frac{1}{t_{0}}\Bigr).
Portanto,
x''(t) =-\frac{x_{0}}{2\,t_{0}} \cdot e^{-(t-t_{0})/t_{0}} \cdot\Bigl(-\frac{1}{t_{0}}\Bigr) =\frac{x_{0}}{2\,t_{0}^{2}}\,e^{-(t-t_{0})/t_{0}}.

Resposta

x'(t)=v_{0}-\frac{x_{0}}{2\,t_{0}}\,e^{-(t-t_{0})/t_{0}},
x''(t)=\frac{x_{0}}{2\,t_{0}^{2}}\,e^{-(t-t_{0})/t_{0}}.

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