Regra da Cadeia: determine as derivadas das seguintes funções em relação ao seu argumento:
26.
f(x)=\operatorname{arccosec}\left(x^{2} e^{-x / 2}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\operatorname{arccosec}\bigl(x^{2}e^{-x/2}\bigr)
ou seja, estamos diante de uma função composta f(x)=\operatorname{arccosec}\bigl(u(x)\bigr) com
u(x)=x^{2}e^{-x/2}.
O conteúdo principal aqui é a Regra da Cadeia e a fórmula da derivada da função inversa \operatorname{arccosec}(u).

Passo 2

Sabemos que
\frac{d}{du}\bigl[\operatorname{arccosec}(u)\bigr] =-\frac{1}{\lvert u\rvert\,\sqrt{u^{2}-1}}.
Logo, aplicando a Regra da Cadeia,
f'(x) =\frac{d}{dx}\bigl[\operatorname{arccosec}(u(x))\bigr] =u'(x)\,\frac{d}{du}\bigl[\operatorname{arccosec}(u)\bigr]_{u=u(x)} =-\frac{u'(x)}{\lvert u(x)\rvert\,\sqrt{u(x)^{2}-1}}.
Como u(x)=x^{2}e^{-x/2}>0 no domínio considerado, podemos substituir \lvert u(x)\rvert por u(x).

Passo 3

Agora vamos calcular u'(x). Usamos produto u(x)=x^{2}\cdot e^{-x/2}.
u'(x) =\frac{d}{dx}\bigl[x^{2}\bigr]\;e^{-x/2} +x^{2}\;\frac{d}{dx}\bigl[e^{-x/2}\bigr].
Como \frac{d}{dx}[x^{2}]=2x e \frac{d}{dx}[e^{-x/2}]=e^{-x/2}\cdot(-\tfrac12), segue
u'(x) =2x\,e^{-x/2} +x^{2}\,\bigl(-\tfrac12\,e^{-x/2}\bigr) =e^{-x/2}\bigl(2x-\tfrac{x^{2}}{2}\bigr).

Passo 4

Substituindo u(x) e u'(x) em
f'(x) =-\frac{u'(x)}{u(x)\,\sqrt{u(x)^{2}-1}}
obtemos
f'(x) =-\frac{e^{-x/2}\bigl(2x-\tfrac{x^{2}}{2}\bigr)} {x^{2}e^{-x/2}\,\sqrt{\bigl(x^{2}e^{-x/2}\bigr)^{2}-1}} =-\frac{2x-\tfrac{x^{2}}{2}}{x^{2}\,\sqrt{x^{4}e^{-x}-1}}.

Passo 5

Por fim, simplificamos o numerador:
2x-\tfrac{x^{2}}{2} =\frac{4x-x^{2}}{2} =\frac{x(4-x)}{2},
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f'(x) =-\frac{\frac{x(4-x)}{2}}{x^{2}\sqrt{x^{4}e^{-x}-1}} =\frac{x(x-4)}{2\,x^{2}\sqrt{x^{4}e^{-x}-1}} =\frac{x-4}{2\,x\,\sqrt{x^{4}e^{-x}-1}}.

Resposta

f'(x) =\frac{x-4}{2\,x\,\sqrt{x^{4}e^{-x}-1}}.

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