Dadas as funções abaixo, determine suas derivadas, em relação ao seu argumento, até segunda ordem.
f(t)=x_{0} \operatorname{sen}(w t+a)

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(t)=x_{0}\,\operatorname{sen}(w\,t+a)
e pede as derivadas de primeira e segunda ordem em relação a t. Vamos usar o fato de que
  1. \frac{d}{dt}\bigl[\operatorname{sen}(u)\bigr]=\cos(u)\,\frac{du}{dt} (regra da cadeia),
  2. \frac{d}{dt}[\cos(u)]=-\,\sin(u)\,\frac{du}{dt}.

Passo 2

Para a primeira derivada, apliquei a regra da cadeia à função seno. O argumento é u(t)=w\,t+a, cuja derivada é \frac{du}{dt}=w. Logo,
f'(t) =\frac{d}{dt}\bigl[x_{0}\,\operatorname{sen}(u(t))\bigr] =x_{0}\,\cos(u(t))\;\frac{du}{dt} =x_{0}\,w\,\cos\bigl(w\,t+a\bigr).

Passo 3

Para a segunda derivada, derivo f'(t)=x_{0}\,w\,\cos(w\,t+a) novamente pela regra da cadeia. O argumento continua u(t)=w\,t+a, então
f''(t) =\frac{d}{dt}\bigl[x_{0}\,w\,\cos(u(t))\bigr] =x_{0}\,w\;\bigl[-\sin(u(t))\bigr]\;\frac{du}{dt} =-\,x_{0}\,w^{2}\,\operatorname{sen}\bigl(w\,t+a\bigr).

Resposta

f'(t)=x_{0}\,w\,\cos\bigl(w\,t+a\bigr), \qquad f''(t)=-\,x_{0}\,w^{2}\,\operatorname{sen}\bigl(w\,t+a\bigr).

Exercícios relacionados