\lim _{x \rightarrow 3} \frac{x^{3}-7 x-6}{x^{3}-2 x^{2}-5 x+6}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x \rightarrow 3} \frac{x^{3} - 7x - 6}{x^{3} - 2x^{2} - 5x + 6}.
O conteúdo aqui é limite de quociente de polinômios. Ao substituir x=3 diretamente, obtemos \tfrac{0}{0}, que é uma forma indeterminada. Para resolver, vamos usar fatoração e cancelamento de fatores comuns.

Passo 2

Fatoramos o numerador x^{3} - 7x - 6. Sabemos que, como o valor em x=3 anula o polinômio, (x-3) é um fator. Fazendo a divisão sintética ou agrupamento, obtemos:
x^{3} - 7x - 6 = (x-3)\,(x^{2} + 3x + 2)
e o trinômio x^{2} + 3x + 2 se decompõe em fatores lineares:
x^{2} + 3x + 2 = (x+1)(x+2).
Logo,
x^{3} - 7x - 6 = (x-3)(x+1)(x+2).

Passo 3

Fatoramos o denominador x^{3} - 2x^{2} - 5x + 6. Como também anula em x=3, (x-3) é fator. A divisão sintética leva a:
x^{3} - 2x^{2} - 5x + 6 = (x-3)\,(x^{2} + x - 2)
e o trinômio x^{2} + x - 2 fatora em:
x^{2} + x - 2 = (x+2)(x-1).
Portanto,
x^{3} - 2x^{2} - 5x + 6 = (x-3)(x+2)(x-1).

Passo 4

Substituindo as fatorações no quociente, temos
\frac{x^{3} - 7x - 6}{x^{3} - 2x^{2} - 5x + 6} = \frac{(x-3)(x+1)(x+2)}{(x-3)(x+2)(x-1)}.
Como x \neq 3 no processo de limite, podemos cancelar os fatores comuns (x-3) e (x+2), restando
\frac{x+1}{x-1}.
Agora basta avaliar em x = 3:
\frac{3+1}{3-1} = \frac{4}{2} = 2.

Resposta

2

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