Dadas as funções abaixo, determine suas derivadas, em relação ao seu argumento, até segunda ordem.
f(t)=x_{0} \operatorname{sen}(w t+a)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas de até segunda ordem de
f(t)=x_{0}\sin\bigl(wt+a\bigr)
em que x_{0}, w e a são constantes. Vamos usar a regra da cadeia, sabendo que
– a derivada de \sin(u) em relação a u é \cos(u),
– a derivada de \cos(u) em relação a u é -\sin(u),
– e que, como w e a são constantes,
\frac{d}{dt}\bigl(wt+a\bigr)=w.

Passo 2

Calculando a primeira derivada,
f'(t) =\frac{d}{dt}\Bigl[x_{0}\sin\bigl(wt+a\bigr)\Bigr] =x_{0}\,\cos\bigl(wt+a\bigr)\cdot\frac{d}{dt}\bigl(wt+a\bigr) =x_{0}\,w\cos\bigl(wt+a\bigr).

Passo 3

Agora a segunda derivada,
f''(t) =\frac{d}{dt}\Bigl[x_{0}\,w\cos\bigl(wt+a\bigr)\Bigr] =x_{0}\,w\bigl[-\sin\bigl(wt+a\bigr)\bigr]\cdot\frac{d}{dt}\bigl(wt+a\bigr) =-\,x_{0}\,w^{2}\sin\bigl(wt+a\bigr).

Resposta

A primeira e a segunda derivadas são, respectivamente:
f'(t)=x_{0}\,w\cos\bigl(wt+a\bigr),
f''(t)=-\,x_{0}\,w^{2}\sin\bigl(wt+a\bigr).

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