Para as funções dadas abaixo, faça o gráfico, determiando suas assíntotas e os pontos onde a função cruza os eixos x e y :
f(x)=\frac{3-x}{x-1}

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função racional
f(x)=\frac{3 - x}{x - 1}
determinando suas assíntotas (vertical e horizontal) e os pontos em que cruza os eixos x e y. Vamos usar teoria de funções racionais: domínio, zeros, assíntotas e comportamento nos limites.

Passo 2

Para encontrar a assíntota vertical identificamos onde o denominador zera. Como x-1=0 em x=1, temos domínio
\mathbb{R}\setminus\{1\}
e assíntota vertical x=1.

Passo 3

A assíntota horizontal vem da comparação dos graus do numerador e do denominador. Ambos são de grau 1, então a assíntota é
y=\frac{\text{coeficiente de }x\text{ no numerador}}{\text{coeficiente de }x\text{ no denominador}} =\frac{-1}{1}=-1.

Passo 4

Para os pontos de interseção:
- Eixo x: resolver f(x)=0 3-x=0, logo x=3. O ponto é (3,0).
- Eixo y: tomar x=0 em f(x)
f(0)=\frac{3-0}{0-1}=-3,
logo o ponto é (0,-3).

Passo 5

Analisando o comportamento próximo às assíntotas e em valores de teste:
- Quando x\to1^-, o numerador tende a 2 e o denominador a 0^-, então f(x)\to -\infty.
- Quando x\to1^+, o numerador tende a 2 e o denominador a 0^+, então f(x)\to +\infty.
- Quando x\to+\infty ou x\to-\infty, f(x)\to -1.
Tomando, por exemplo, f(2)=\tfrac{3-2}{2-1}=1 (ramo acima de y=-1 para x>1) e f(0)=-3 (ramo abaixo de y=-1 para x<1), obtemos as duas curvas separadas pela reta x=1, aproximando-se de y=-1.

Resposta

Assíntotas: x=1 (vertical) y=-1 (horizontal)
Interceptos: (3,0) no eixo x (0,-3) no eixo y

Exercícios relacionados