Dadas as funções abaixo, determine as Derivadas utilizando a Definição de Derivadas.
f(x)=\frac{2}{x^{2}} \quad f(t)=\frac{1}{\sqrt{t+1}}

Passo 1

O enunciado pede: “Determinar as derivadas, utilizando a Definição de Derivada”, para as duas funções dadas. As funções e as informações relevantes são:
f(x)=\frac{2}{x^{2}},\qquad \text{domínio: }x\neq 0í
f(t)=\frac{1}{\sqrt{t+1}},\qquad \text{domínio: }t>-1í
A tarefa é calcular as derivadas usando a definição de derivada (limite do quociente incremental) e apresentar o resultado final.

Passo 2

Primeira recordação: a Definição de Derivada que vamos usar é
f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
Aqui a é o ponto onde se quer a derivada; na prática podemos deixar a variável livre e escrever
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Explicando: f(x+h) é o valor da função num ponto ligeiramente deslocado por h; subtraímos f(x) e dividimos por h para obter a taxa média de variação; o limite h\to 0 transforma essa taxa média em taxa instantânea (a derivada).

Passo 3

Vamos aplicar a definição em \displaystyle f(x)=\frac{2}{x^{2}}.
Escrevemos o quociente incremental:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{\dfrac{2}{(x+h)^{2}}-\dfrac{2}{x^{2}}}{h}.
Primeiro colocamos as frações sobre um denominador comum:
\frac{2}{(x+h)^{2}}-\frac{2}{x^{2}}=2\left(\frac{x^{2}-(x+h)^{2}}{x^{2}(x+h)^{2}}\right).
Agora expandimos (x+h)^{2}=x^{2}+2xh+h^{2}, então
x^{2}-(x+h)^{2}=x^{2}-(x^{2}+2xh+h^{2})=-2xh-h^{2}=-h(2x+h).
Substituindo na expressão anterior:
\frac{2}{(x+h)^{2}}-\frac{2}{x^{2}}=2\left(\frac{-h(2x+h)}{x^{2}(x+h)^{2}}\right)=-\frac{2h(2x+h)}{x^{2}(x+h)^{2}}.
Agora voltamos ao quociente incremental e dividimos por h:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{-\dfrac{2h(2x+h)}{x^{2}(x+h)^{2}}}{h}=-\frac{2h(2x+h)}{x^{2}(x+h)^{2}\,h}.
Cancelamos o h (desde que h\neq 0, e depois tomamos o limite):
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=-\frac{2(2x+h)}{x^{2}(x+h)^{2}}.
Agora tomamos o limite h\to 0. Substituindo h=0 na expressão contínua obtemos
f'(x)=\lim_{h\to 0}\left(-\frac{2(2x+h)}{x^{2}(x+h)^{2}}\right)=-\frac{2(2x)}{x^{2}\cdot x^{2}}=-\frac{4x}{x^{4}}=-\frac{4}{x^{3}}.
Portanto a derivada de \displaystyle f(x)=\frac{2}{x^{2}} (para x\neq 0) é
f'(x)=-\frac{4}{x^{3}}.
Dica prática: aqui também poderíamos ter usado a regra do expoente (escrever f(x)=2x^{-2} e derivar), o que dá o mesmo resultado; mas fizemos pelo limite como o enunciado pediu.

Passo 4

Agora a segunda função. Reescrevendo para clareza:
f(t)=\frac{1}{\sqrt{t+1}}.
Vamos aplicar a definição com a variável t:
f'(t)=\lim_{h\to 0}\frac{f(t+h)-f(t)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{\dfrac{1}{\sqrt{t+h+1}}-\dfrac{1}{\sqrt{t+1}}}{h}.
A técnica mais direta aqui é racionalizar a diferença no numerador (multiplicar numerador e denominador pela conjugada), porque é uma diferença de radicais.

Passo 5

Denote A=\sqrt{t+h+1} e B=\sqrt{t+1} para visualizar melhor. Então o numerador é 1/A-1/B=(B-A)/(AB). Multiplicamos numerador e denominador do quociente incremental por A+B (a conjugada de B-A):
Primeiro, usando a identidade (B-A)(A+B)=B^{2}-A^{2}, temos
\frac{1}{A}-\frac{1}{B}=\frac{B-A}{AB}=\frac{(B-A)(A+B)}{AB(A+B)}=\frac{B^{2}-A^{2}}{AB(A+B)}.
Mas B^{2}=t+1 e A^{2}=t+h+1, portanto
B^{2}-A^{2}=(t+1)-(t+h+1)=-h.
Assim o numerador simplificado vale -h/(AB(A+B)). Substituindo isso no quociente e dividindo por h obtemos
\frac{f(t+h)-f(t)}{h}=\frac{-h}{AB(A+B)}\cdot\frac{1}{h}=-\frac{1}{AB(A+B)}.
Agora tomamos o limite h\to 0. Quando h\to 0 temos A\to \sqrt{t+1}=B. Então
\lim_{h\to 0}AB=(\sqrt{t+1})^{2}=t+1,\qquad \lim_{h\to 0}(A+B)=2\sqrt{t+1}.
Portanto
f'(t)=-\frac{1}{(t+1)\cdot 2\sqrt{t+1}}=-\frac{1}{2(t+1)^{3/2}}.
Isso é válido para t>-1 (domínio da função original).

Resposta

f'(x)=-\frac{4}{x^{3}}
f'(t)=-\frac{1}{2(t+1)^{3/2}}

Exercícios relacionados