Dadas as funções abaixo, determine as Derivadas utilizando a Definição de Derivadas.
Passo 1
O enunciado pede: “Determinar as derivadas, utilizando a Definição de Derivada”, para as duas funções dadas. As funções e as informações relevantes são:
A tarefa é calcular as derivadas usando a definição de derivada (limite do quociente incremental) e apresentar o resultado final.
Passo 2
Primeira recordação: a Definição de Derivada que vamos usar é
Aqui
é o ponto onde se quer a derivada; na prática podemos deixar a variável livre e escrever
Explicando:
é o valor da função num ponto ligeiramente deslocado por
; subtraímos
e dividimos por
para obter a taxa média de variação; o limite
transforma essa taxa média em taxa instantânea (a derivada).
Passo 3
Vamos aplicar a definição em
.
Escrevemos o quociente incremental:
Primeiro colocamos as frações sobre um denominador comum:
Agora expandimos
, então
Substituindo na expressão anterior:
Agora voltamos ao quociente incremental e dividimos por
:
Cancelamos o
(desde que
, e depois tomamos o limite):
Agora tomamos o limite
. Substituindo
na expressão contínua obtemos
Portanto a derivada de
(para
) é
Dica prática: aqui também poderíamos ter usado a regra do expoente (escrever
e derivar), o que dá o mesmo resultado; mas fizemos pelo limite como o enunciado pediu.
Passo 4
Agora a segunda função. Reescrevendo para clareza:
Vamos aplicar a definição com a variável
:
A técnica mais direta aqui é racionalizar a diferença no numerador (multiplicar numerador e denominador pela conjugada), porque é uma diferença de radicais.
Passo 5
Denote
e
para visualizar melhor. Então o numerador é
. Multiplicamos numerador e denominador do quociente incremental por
(a conjugada de
):
Primeiro, usando a identidade
, temos
Mas
e
, portanto
Assim o numerador simplificado vale
. Substituindo isso no quociente e dividindo por
obtemos
Agora tomamos o limite
. Quando
temos
. Então
Portanto
Isso é válido para
(domínio da função original).