Encontre as assíntotas Verticais e Horizontais. Faça o estudo do limite em torno da assíntota vertical
y=\frac{5+4 x}{x+3}

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Encontrar as assíntotas verticais e horizontais da função
y=\frac{5+4x}{x+3}.
  • Fazer o estudo do limite em torno da assíntota vertical (ou seja, os limites laterais quando x se aproxima do ponto onde pode haver assíntota vertical).
Informações dadas e observações imediatas (sem resolver ainda):
  • A função é racional, escrita como \dfrac{4x+5}{x+3}.
  • O domínio natural desta função é todos os números reais exceto onde o denominador se anula, isto é, exceto possivelmente em x=-3.
  • Precisaremos analisar o comportamento da função quando x\to-3 (para a assíntota vertical) e quando x\to\pm\infty (para assíntota horizontal).

Passo 2

Conceito e teste prático para assíntota vertical:
  • Uma assíntota vertical em x=a ocorre quando o denominador da função se anula em a e essa anulação não é “cancelada” por uma anulação do numerador; nesse caso a função tende para +\infty ou -\infty quando x\to a^\pm.
  • Vamos verificar se o denominador se anula em algum ponto e se há cancelamento com o numerador: o denominador é x+3, que se anula em x=-3. O numerador é 4x+5. Avaliando o numerador em x=-3 obtemos
4(-3)+5 = -12+5 = -7 \neq 0.
  • Como o numerador não zera em x=-3, não há cancelamento. Logo existe uma assíntota vertical em x=-3.

Passo 3

Reescrita útil da função (divisão de polinômios) — aula rápida:
  • Quando o grau do numerador é igual ao grau do denominador (ambos grau 1 aqui), é prático fazer a divisão de polinômios para separar a parte constante (que dará a assíntota horizontal) e uma fração cujo denominador tende a zero.
  • Fazemos a divisão:
\frac{4x+5}{x+3} = 4 + \frac{4x+5 - 4(x+3)}{x+3}.
Calcule o resto:
4x+5 - 4(x+3) = 4x+5 - (4x+12) = 5-12 = -7.
  • Portanto temos a identidade algébrica
\frac{4x+5}{x+3} = 4 - \frac{7}{x+3}.
  • Essa forma é muito útil: é explícito que, longe de x=-3, a função é a constante 4 mais um termo -7/(x+3) que determina desvios.

Passo 4

Estudo do limite em torno da assíntota vertical x=-3 (limites laterais) — explicação passo a passo:
  • A partir da expressão
y=4 - \frac{7}{x+3},
quando x\to -3 o denominador x+3\to 0, então o termo -\dfrac{7}{x+3} domina o comportamento e tende a infinito em módulo.
  • Precisamos analisar o sinal desse termo conforme nos aproximamos pela esquerda ( x\to -3^-) e pela direita ( x\to -3^+):
  1. Para x\to -3^-: temos x+3<0 e muito pequeno em valor absoluto. Assim \dfrac{7}{x+3} é negativo grande (pois 7>0 dividido por número negativo pequeno dá -\infty). Portanto
-\frac{7}{x+3} \to +\infty.
Logo
\lim_{x\to -3^-}\frac{4x+5}{x+3} = +\infty.
  1. Para x\to -3^+: temos x+3>0 e muito pequeno. Assim \dfrac{7}{x+3} é positivo grande, então
-\frac{7}{x+3} \to -\infty.
Logo
\lim_{x\to -3^+}\frac{4x+5}{x+3} = -\infty.
  • Intuição numérica rápida (exemplo concreto): se x=-3,1 então x+3=-0,1 e
y \approx 4 - \frac{7}{-0,1} = 4 + 70 = 74
(um número grande positivo). Se x=-2,9 então x+3=0,1 e
y \approx 4 - \frac{7}{0,1} = 4 - 70 = -66
(um número grande negativo). Isso confirma os sinais dos limites laterais.

Passo 5

Assíntota horizontal — definição e cálculo via limite:
  • Uma assíntota horizontal y=L ocorre se \lim_{x\to\infty} f(x)=L ou \lim_{x\to -\infty} f(x)=L.
  • Usando a forma já obtida
\frac{4x+5}{x+3} = 4 - \frac{7}{x+3},
quando x\to\pm\infty o termo \dfrac{7}{x+3}\to 0. Portanto
\lim_{x\to\pm\infty}\frac{4x+5}{x+3} = 4.
  • Assim há uma assíntota horizontal comum para ambos os lados: y=4. (Isso também se obtém mais diretamente observando que os coeficientes dos termos de maior grau são 4 no numerador e 1 no denominador, razão \dfrac{4}{1}=4.)

Resposta

Assíntota vertical: x=-3
Assíntota horizontal: y=4
\displaystyle \lim_{x\to -3^-}\frac{4x+5}{x+3}=+\infty
\displaystyle \lim_{x\to -3^+}\frac{4x+5}{x+3}=-\infty

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