Encontre as assíntotas Verticais e Horizontais. Faça o estudo do limite em torno da assíntota vertical
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Encontrar as assíntotas verticais e horizontais da função
- Fazer o estudo do limite em torno da assíntota vertical (ou seja, os limites laterais quando
se aproxima do ponto onde pode haver assíntota vertical).
Informações dadas e observações imediatas (sem resolver ainda):
- A função é racional, escrita como
. - O domínio natural desta função é todos os números reais exceto onde o denominador se anula, isto é, exceto possivelmente em
. - Precisaremos analisar o comportamento da função quando
(para a assíntota vertical) e quando (para assíntota horizontal).
Passo 2
Conceito e teste prático para assíntota vertical:
- Uma assíntota vertical em
ocorre quando o denominador da função se anula em e essa anulação não é “cancelada” por uma anulação do numerador; nesse caso a função tende para ou quando . - Vamos verificar se o denominador se anula em algum ponto e se há cancelamento com o numerador: o denominador é
, que se anula em . O numerador é . Avaliando o numerador em obtemos
- Como o numerador não zera em
, não há cancelamento. Logo existe uma assíntota vertical em .
Passo 3
Reescrita útil da função (divisão de polinômios) — aula rápida:
- Quando o grau do numerador é igual ao grau do denominador (ambos grau
aqui), é prático fazer a divisão de polinômios para separar a parte constante (que dará a assíntota horizontal) e uma fração cujo denominador tende a zero. - Fazemos a divisão:
Calcule o resto:
- Portanto temos a identidade algébrica
- Essa forma é muito útil: é explícito que, longe de
, a função é a constante mais um termo que determina desvios.
Passo 4
Estudo do limite em torno da assíntota vertical
(limites laterais) — explicação passo a passo:
- A partir da expressão
quando
o denominador
, então o termo
domina o comportamento e tende a infinito em módulo.
- Precisamos analisar o sinal desse termo conforme nos aproximamos pela esquerda (
) e pela direita ( ):
- Para
: temos e muito pequeno em valor absoluto. Assim é negativo grande (pois dividido por número negativo pequeno dá ). Portanto
Logo
- Para
: temos e muito pequeno. Assim é positivo grande, então
Logo
- Intuição numérica rápida (exemplo concreto): se
então e
(um número grande positivo). Se
então
e
(um número grande negativo). Isso confirma os sinais dos limites laterais.
Passo 5
Assíntota horizontal — definição e cálculo via limite:
- Uma assíntota horizontal
ocorre se ou . - Usando a forma já obtida
quando
o termo
. Portanto
- Assim há uma assíntota horizontal comum para ambos os lados:
. (Isso também se obtém mais diretamente observando que os coeficientes dos termos de maior grau são no numerador e no denominador, razão .)
Resposta
Assíntota vertical:
Assíntota horizontal:
Assíntota horizontal: