Determine o valor de \boldsymbol{m} para que a função definida por partes seja contínua em todo o seu Domínio.
f(x)=\left\{\begin{array}{ccc} x^{3}-m x & \text { se } & x \leq 2 \\\ \frac{2-x}{\sqrt{x+2}-2} & \text { se } & x>2 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o valor de m\) de modo que a função \[f(x)=\begin{cases} x^{3}-m x & \text{se } x \leq 2,\\[4pt] \dfrac{2-x}{\sqrt{x+2}-2} & \text{se } x>2 \end{cases}
seja contínua em todo o seu domínio. Informação dada: as duas expressões que definem f\] em suas respectivas partes, e o ponto potencial de emenda é \(x=2 (onde muda a definição).]

Passo 2

Identificar o domínio de cada ramo e o domínio total:
  • O ramo x^{3}-m x é um polinômio, definido para todo x\in\mathbb{R}.
  • O ramo \dfrac{2-x}{\sqrt{x+2}-2} exige \sqrt{x+2} definido, isto é x+2\geq 0\Rightarrow x\geq -2; mas esse ramo vale apenas para x>2. Para x>2 a expressão está bem definida (o denominador só seria zero em x=2, que não pertence a x>2). Portanto o domínio total da função é (-\infty,\infty), isto é, todos os reais (o ponto x=2 está incluído pelo primeiro ramo).

Passo 3

Relembrando o que significa ser contínua em todo o domínio (aqui preciso ser didático): para a função ser contínua em cada ponto do domínio, em particular no ponto onde as definições se encontram, devemos ter igualdade entre o valor à esquerda, o valor à direita e o valor da função nesse ponto. Ou seja, em x=2 precisamos que
\lim_{x\to2^-} f(x)=\lim_{x\to2^+} f(x)=f(2).
Observação: em pontos interiores de cada ramo (fora da emenda x=2), polinômios e funções compostas por raízes e operações elementares são contínuos onde estão definidas; então o único possível problema é em x=2.

Passo 4

Calcular f(2) usando o ramo que vale em x\leq2:
f(2)=2^{3}-m\cdot 2 = 8 - 2m.
Expliquei: substituí x=2 no polinômio x^{3}-m x.

Passo 5

Calcular o limite pela direita \displaystyle \lim_{x\to2^+}\frac{2-x}{\sqrt{x+2}-2}.
Primeiro, testar substituição direta: ao colocar x=2 temos \dfrac{2-2}{\sqrt{4}-2}=\dfrac{0}{0}, forma indeterminada. Então precisamos manipular algebricamente. Uma técnica padrão aqui é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador para eliminar a raiz no denominador.
Multiplicando por \dfrac{\sqrt{x+2}+2}{\sqrt{x+2}+2} obtemos
\frac{2-x}{\sqrt{x+2}-2}\cdot\frac{\sqrt{x+2}+2}{\sqrt{x+2}+2} =\frac{(2-x)\,(\sqrt{x+2}+2)}{(\sqrt{x+2}-2)(\sqrt{x+2}+2)}.
No denominador a diferença de quadrados dá
(\sqrt{x+2}-2)(\sqrt{x+2}+2)=x+2-4=x-2.
Portanto a expressão fica
\frac{(2-x)\,(\sqrt{x+2}+2)}{x-2}.
Agora note a identidade 2-x=-(x-2). Substituindo:
\frac{(2-x)\,(\sqrt{x+2}+2)}{x-2} =\frac{-(x-2)\,(\sqrt{x+2}+2)}{x-2}=-(\sqrt{x+2}+2),
válido para x\neq 2 (no nosso caso consideramos x\to2^+, com x>2, então x-2\neq0 e a simplificação é legítima). Agora calculamos o limite trocando x por 2:
\lim_{x\to2^+} \frac{2-x}{\sqrt{x+2}-2} = \lim_{x\to2^+} -(\sqrt{x+2}+2) = -\big(\sqrt{4}+2\big) = -(2+2) = -4.
Portanto o limite pela direita é -4.

Passo 6

Para que f seja contínua em x=2 precisamos que f(2) (calculado no Passo 4) seja igual ao limite pela direita (Passo 5). Assim impondo
8-2m = -4.
Resolver essa equação: subtraindo 8 de ambos os lados,
-2m = -12,
dividindo por -2,
m = 6.
Interpretação final: com m=6 temos f(2)=8-2\cdot 6=8-12=-4, que coincide com o limite vindo da direita -4, garantindo continuidade em x=2. Em todos os outros pontos a função já é contínua pelas propriedades dos ramos.

Resposta

m=6

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