Determine o valor de
para que a função definida por partes seja contínua em todo o seu Domínio.
Passo 1
O enunciado pede para determinar o valor de
seja contínua em todo o seu domínio. Informação dada: as duas expressões que definem
(onde muda a definição).]
Passo 2
Identificar o domínio de cada ramo e o domínio total:
- O ramo
é um polinômio, definido para todo . - O ramo
exige definido, isto é ; mas esse ramo vale apenas para . Para a expressão está bem definida (o denominador só seria zero em , que não pertence a ). Portanto o domínio total da função é , isto é, todos os reais (o ponto está incluído pelo primeiro ramo).
Passo 3
Relembrando o que significa ser contínua em todo o domínio (aqui preciso ser didático): para a função ser contínua em cada ponto do domínio, em particular no ponto onde as definições se encontram, devemos ter igualdade entre o valor à esquerda, o valor à direita e o valor da função nesse ponto. Ou seja, em
precisamos que
Observação: em pontos interiores de cada ramo (fora da emenda
), polinômios e funções compostas por raízes e operações elementares são contínuos onde estão definidas; então o único possível problema é em
.
Passo 4
Calcular
usando o ramo que vale em
:
Expliquei: substituí
no polinômio
.
Passo 5
Calcular o limite pela direita
.
Primeiro, testar substituição direta: ao colocar temos
, forma indeterminada. Então precisamos manipular algebricamente. Uma técnica padrão aqui é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador para eliminar a raiz no denominador.
Primeiro, testar substituição direta: ao colocar
Multiplicando por
obtemos
No denominador a diferença de quadrados dá
Portanto a expressão fica
Agora note a identidade
. Substituindo:
válido para
(no nosso caso consideramos
, com
, então
e a simplificação é legítima). Agora calculamos o limite trocando
por
:
Portanto o limite pela direita é
.
Passo 6
Para que
seja contínua em
precisamos que
(calculado no Passo 4) seja igual ao limite pela direita (Passo 5). Assim impondo
Resolver essa equação: subtraindo
de ambos os lados,
dividindo por
,
Interpretação final: com
temos
, que coincide com o limite vindo da direita
, garantindo continuidade em
. Em todos os outros pontos a função já é contínua pelas propriedades dos ramos.