Dadas as funções abaixo determine o período, a amplitude, o domínio e a imagem e esboce pelo menos um período completo do gráfico de cada uma:
\mathrm{f}(\mathrm{x})=1-3 \cos (\pi x)
\mathrm{f}(\mathrm{x})=1-3 \cos (\pi x)
Passo 1
O enunciado pede, para a função
que a gente determine o período, a amplitude, o domínio e a imagem, e depois esboce um período completo. Isso envolve saber propriedades de funções trigonométricas das quais usaremos: período padrão de
, amplitude igual ao valor absoluto do coeficiente na frente do cosseno, domínio de funções trigonométricas simples e imagem resultante de deslocamento vertical.
Passo 2
Determinar o domínio. A função
está definida para todo
. Como não há divisão por zero nem raiz de índice par de número negativo, o domínio de
é
Passo 3
Determinar a amplitude. A forma geral
tem amplitude
. Aqui o coeficiente de
é
, mas a amplitude é
Passo 4
Determinar o período. O cosseno padrão tem período
. Se dentro do cosseno aparece
, basta resolver
Logo o período de
é
Passo 5
Determinar a imagem. Como
, temos
e somando
:
Passo 6
Esboçar um período completo, digamos de
até
. Vamos marcar cinco pontos-chave e ligar suavemente:
• Em
:
, então
.
• Em :
, então
.
• Em :
, então
.
• Em :
, então
.
• Em :
, então
.
• Em
• Em
• Em
• Em
Um esboço ASCII aproximado (eixo
horizontal de 0 a 2, eixo
vertical de
a
):
y
4 | * ← (1,4)
3 |
2 |
1 | * * ← (0,5,1) e (1,5,1)
0 |
-1 |
-2 * * ← (0,−2) e (2,−2)
\(00.511.52\) x
Conecte os pontos com uma curva suave em forma de cosseno invertido e deslocado.
Resposta
Período:
Amplitude:
Domínio:
Imagem:
Amplitude:
Domínio:
Imagem: