Dadas as funções abaixo determine o período, a amplitude, o domínio e a imagem e esboce pelo menos um período completo do gráfico de cada uma:
\mathrm{f}(\mathrm{x})=1-3 \cos (\pi x)

Passo 1

O enunciado pede, para a função
\mathrm{f}(x)=1-3\cos\bigl(\pi x\bigr),
que a gente determine o período, a amplitude, o domínio e a imagem, e depois esboce um período completo. Isso envolve saber propriedades de funções trigonométricas das quais usaremos: período padrão de \cos, amplitude igual ao valor absoluto do coeficiente na frente do cosseno, domínio de funções trigonométricas simples e imagem resultante de deslocamento vertical.

Passo 2

Determinar o domínio. A função \cos(\pi x) está definida para todo x\in\mathbb{R}. Como não há divisão por zero nem raiz de índice par de número negativo, o domínio de \mathrm{f} é
\mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R}.

Passo 3

Determinar a amplitude. A forma geral A\cos(\dots) tem amplitude \lvert A\rvert. Aqui o coeficiente de \cos é -3, mas a amplitude é
\mathrm{Amplitude} = |{-3}|=3.

Passo 4

Determinar o período. O cosseno padrão tem período 2\pi. Se dentro do cosseno aparece \pi x, basta resolver
\pi\,(x+T)=\pi x+2\pi \quad\Longrightarrow\quad \pi T=2\pi \quad\Longrightarrow\quad T=2.
Logo o período de \mathrm{f} é \mathrm{Período}=2.í

Passo 5

Determinar a imagem. Como \cos(\pi x)\in[-1,1], temos
-3\cos(\pi x)\in[-3,3],
e somando 1:
f(x)=1-3\cos(\pi x)\in[\,1-3,\;1+3\,] =[-2,4].

Passo 6

Esboçar um período completo, digamos de x=0 até x=2. Vamos marcar cinco pontos-chave e ligar suavemente:
• Em x=0: \cos(0)=1, então f(0)=1-3\cdot1=-2.
• Em x=0{,}5: \cos(\tfrac\pi2)=0, então f(0{,}5)=1.
• Em x=1: \cos(\pi)=-1, então f(1)=1-3\cdot(-1)=4.
• Em x=1{,}5: \cos(\tfrac{3\pi}2)=0, então f(1{,}5)=1.
• Em x=2: \cos(2\pi)=1, então f(2)=1-3=-2.
Um esboço ASCII aproximado (eixo x horizontal de 0 a 2, eixo y vertical de -2 a 4):
 y
 4 | * ← (1,4)
 3 |
 2 |
 1 | * * ← (0,5,1) e (1,5,1)
 0 |
 -1 |
 -2 * * ← (0,−2) e (2,−2)
 \(00.511.52\) x
Conecte os pontos com uma curva suave em forma de cosseno invertido e deslocado.

Resposta

Período: 2
Amplitude: 3
Domínio: \mathbb{R}
Imagem: [-2,4]

Exercícios relacionados