Dadas as funções abaixo determine o período, a amplitude, o domínio e a imagem e esboce pelo menos um período completo do gráfico de cada uma:
\mathrm{f}(\mathrm{x})=1-\operatorname{sen}(\mathrm{x}-\pi)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=1-\operatorname{sen}\bigl(x-\pi\bigr)
e pede: o período, a amplitude, o domínio, a imagem e um esboço de um período completo. O conteúdo é transformação de funções trigonométricas, em particular deslocamentos verticais e horizontais de \operatorname{sen} x.

Passo 2

Para encontrar a amplitude, note que a função base \operatorname{sen}(x-\pi) oscila entre -1 e 1. Como em
f(x)=1-\operatorname{sen}(x-\pi)
o coeficiente de \operatorname{sen} é -1, a amplitude é
\text{amplitude} = \lvert -1\rvert = 1.

Passo 3

O período de \operatorname{sen}(x-\pi) é o mesmo de \operatorname{sen} x, ou seja,
\text{período} = 2\pi.í

Passo 4

O domínio de \operatorname{sen}(x-\pi) é todo \mathbb{R}, e subtrações ou somas de constantes não restringem domínio. Logo, \text{domínio} = \mathbb{R}.í

Passo 5

Para achar a imagem, observe que
\operatorname{sen}(x-\pi)\in[-1,1]
então
f(x)=1-\operatorname{sen}(x-\pi)\in[\,1-1,\;1-(-1)\,]=[0,2].
Portanto
\text{imagem} = [0,2].

Passo 6

Antes de esboçar, simplificamos a forma usando a identidade \operatorname{sen}(x-\pi)=-\operatorname{sen} x. Assim
f(x)=1-\bigl(-\operatorname{sen} x\bigr)=1+\operatorname{sen} x.
Um período completo de 1+\operatorname{sen} x vai de, por exemplo, x=-\tfrac{\pi}{2} até x=\tfrac{3\pi}{2}. Alguns pontos-chave:
x = -\tfrac{\pi}{2} \operatorname{sen} x=-1 f=0
x = 0 \operatorname{sen} x=0 f=1
x = \tfrac{\pi}{2} \operatorname{sen} x=1 f=2
x = \pi \operatorname{sen} x=0 f=1
x = \tfrac{3\pi}{2} \operatorname{sen} x=-1 f=0
Esboço (eixo horizontal em x, vertical em f(x)):
2 ─ • ──
| \ /
1 ── •─────┼───────•───────
| \ /
0 ─ •──\──/───•────────
-π/ 20\pi/ 2\pi 3\pi/2
Aqui cada “•” marca os pontos indicados e a curva é suave, lembrando uma onda senoidal elevada de 1 unidade verticalmente.

Resposta

amplitude =1
período = 2\pi
domínio = \mathbb{R}
imagem = [0,2]
gráfico: esboço acima de um período de -\tfrac{\pi}{2} a \tfrac{3\pi}{2}.

Exercícios relacionados