Dadas as funções complexas abaixo, identifique-as como funções de \mathbb{R}^{2} em \mathbb{R}^{2} conforme os exemplos resolvidos. No que se segue, z=x+i y \in \mathbb{Z}, onde os reais x e y são respectivamente a parte real e imaginária de z.
\operatorname{cosh} z:=\frac{1}{2}\left(e^{z}+e^{-z}\right)

Passo 1

O enunciado define a função
\operatorname{cosh} z \;=\;\frac{1}{2}\bigl(e^{z}+e^{-z}\bigr)
com z=x+i y. Nosso objetivo é reescrever \operatorname{cosh} z em termos de (x,y), obtendo uma aplicação
f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2,\quad f(x,y)=\bigl(u(x,y),v(x,y)\bigr)
onde u é a parte real e v a parte imaginária de \operatorname{cosh} z.

Passo 2

Calculemos e^{z}. Como z=x+i y, vale
e^{z}=e^{x+i y}=e^{x}\,e^{i y} =e^{x}\bigl(\cos y + i\sin y\bigr).
Analogamente,
e^{-z}=e^{-x-i y} =e^{-x}\,e^{-i y} =e^{-x}\bigl(\cos y - i\sin y\bigr).

Passo 3

Somando e dividindo por 2, temos
\operatorname{cosh} z =\frac{1}{2}\bigl(e^{z}+e^{-z}\bigr) =\frac{1}{2}\Bigl[e^{x}(\cos y + i\sin y)+e^{-x}(\cos y - i\sin y)\Bigr].
Separe a parte real e a imaginária:
\Re(\operatorname{cosh} z) =\frac{e^{x}\cos y + e^{-x}\cos y}{2} =\operatorname{cosh} x\;\cos y,
\Im(\operatorname{cosh} z) =\frac{e^{x}\sin y - e^{-x}\sin y}{2} =\operatorname{sinh} x\;\sin y.

Passo 4

Concluímos que a função de \mathbb{R}^2 em \mathbb{R}^2 correspondente a \operatorname{cosh} z é
f(x,y) =\bigl(u(x,y),\,v(x,y)\bigr) =\bigl(\operatorname{cosh} x\cos y,\;\operatorname{sinh} x\sin y\bigr).

Resposta

f(x,y)=\bigl(\operatorname{cosh} x\cos y,\;\operatorname{sinh} x\sin y\bigr).

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