Dadas as funções complexas abaixo, identifique-as como funções de \mathbb{R}^{2} em \mathbb{R}^{2} conforme os exemplos resolvidos. No que se segue, z=x+i y \in \mathbb{Z}, onde os reais x e y são respectivamente a parte real e imaginária de z.
\cos z:=\frac{1}{2}\left(e^{i z}+e^{-i z}\right)

Passo 1

O enunciado define a função complexa
\cos z \;=\;\frac12\bigl(e^{i\,z}+e^{-i\,z}\bigr)
onde z=x+i\,y com x,y\in\mathbb{R}. Nosso objetivo é escrever \cos z
como uma função de \mathbb{R}^2 em \mathbb{R}^2, isto é, encontrar duas funções reais u(x,y) e v(x,y) tais que
\cos(x+i\,y)=u(x,y)+i\,v(x,y).

Passo 2

Calculemos separadamente e^{i\,z} e e^{-i\,z}. Como z=x+i\,y, temos
i\,z = i x - y, \quad -i\,z = -\,i x + y.
Logo
e^{i\,z} = e^{i x - y} = e^{-y}\bigl(\cos x + i\,\sin x\bigr),
e^{-i\,z} = e^{-i x + y} = e^{y}\bigl(\cos x - i\,\sin x\bigr).

Passo 3

Some as duas exponenciais e multiplique por 1/2:
\cos(x+i\,y) =\frac12\Bigl[e^{-y}(\cos x + i\,\sin x)+e^{y}(\cos x - i\,\sin x)\Bigr].
Separe parte real e imaginária:
\frac12\bigl[e^{-y}\cos x + e^{y}\cos x\bigr] \;+\; i\,\frac12\bigl[e^{-y}\sin x - e^{y}\sin x\bigr].
Reconhecendo as funções hiperbólicas \operatorname{cosh} y = \tfrac{e^{y}+e^{-y}}2 e \operatorname{sinh} y = \tfrac{e^{y}-e^{-y}}2, isto vira
\cos(x+i\,y) =\cos x\,\operatorname{cosh} y \;+\; i\bigl(-\,\sin x\,\operatorname{sinh} y\bigr).

Resposta

\cos(x+i\,y) = u(x,y) + i\,v(x,y)
com
u(x,y)=\cos x\;\operatorname{cosh} y, \quad v(x,y)=-\,\sin x\;\operatorname{sinh} y.

Exercícios relacionados