Dadas as funções complexas abaixo, identifique-as como funções de \mathbb{R}^{2} em \mathbb{R}^{2} conforme os exemplos resolvidos. No que se segue, z=x+i y \in \mathbb{Z}, onde os reais x e y são respectivamente a parte real e imaginária de z.
\exp \left(i z^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede para reescrever a função
f(z)=\exp\bigl(i\,z^{2}\bigr)
como uma aplicação \mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2}, ou seja, dado z=x+iy, expressar
f(x,y)=\bigl(u(x,y),\,v(x,y)\bigr).
Vamos usar álgebra de números complexos e a fórmula de Euler \exp(a+ib)=e^{a}(\cos b+i\sin b).

Passo 2

Calcular z^{2}. Como z=x+iy, temos
z^{2}=(x+iy)^{2}=x^{2}-y^{2}+2\,i\,x\,y.

Passo 3

Multiplicar o resultado por i:
i\,z^{2}=i\bigl(x^{2}-y^{2}+2\,i\,x\,y\bigr) =i(x^{2}-y^{2})-2\,x\,y =-2\,x\,y\;+\;i\,(x^{2}-y^{2}).

Passo 4

Aplicar a exponencial em cada parte real e imaginária usando Euler:
\exp\bigl(i\,z^{2}\bigr) =\exp\bigl(-2\,x\,y + i\,(x^{2}-y^{2})\bigr) =e^{-2\,x\,y}\,\bigl(\cos(x^{2}-y^{2})+i\,\sin(x^{2}-y^{2})\bigr).

Passo 5

Separar as partes real u(x,y) e imaginária v(x,y). Logo
u(x,y)=e^{-2\,x\,y}\,\cos\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr), \quad v(x,y)=e^{-2\,x\,y}\,\sin\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr).

Resposta

A função \exp(i\,z^{2}), vista como aplicação de \mathbb{R}^{2} em \mathbb{R}^{2}, é
f(x,y)=\bigl(u(x,y),\,v(x,y)\bigr) =\bigl(e^{-2xy}\cos(x^{2}-y^{2}),\,e^{-2xy}\sin(x^{2}-y^{2})\bigr).

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