Dadas as funções f(z), determine as imagens dos pontos indicados.
f(z)=z^2+barzz-i, z=2-i.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função complexa e precisa descobrir a imagem do ponto . Isso quer dizer que vamos substituir esse valor na função para ver pra onde ele é mapeado. Para isso, vamos precisar lembrar como trabalhar com números complexos, especialmente com a conjugada de um número e realizar operações de divisão envolvendo números complexos.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir f(2 - i) = (2 - i)^2 + 2 - i(2 - i) - i na função . Ou seja, vamos colocar esse valor no lugar de na expressão:

Passo 3

Vamos calcular (a + b i)^2 = a^2 + 2 a b i + (b i)^2 . Para elevar um número complexo ao quadrado, usamos a fórmula:
(2 - i)^2 = 2^2 + 2 times 2 times (-1) i + (-1)^2 i^2 = 4 - 4i + 1(-1) = 4 - 4i - 1 = 3 - 4i
No nosso caso, e :

Passo 4

Agora, vamos encontrar a conjugada de 2 - i = 2 + i , que é . A conjugada de um número complexo é . Assim:

Passo 5

Vamos somar os resultados que encontramos no numerador:
(2 - i)^2 + 2 - i = (3 - 4i) + (2 + i) = 3 + 2 - 4i + i = 5 - 3i

Passo 6

Agora, vamos calcular o denominador:
(2 - i) - i = 2 - i - i = 2 - 2i

Passo 7

Temos agora a fração:
f(2 - i) = 5 - 3i2 - 2i
Para simplificar essa divisão, multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador, que é f(2 - i) = (5 - 3i)(2 + 2i)(2 - 2i)(2 + 2i) :
(5 - 3i)(2 + 2i) = 5 times 2 + 5 times 2i - 3i times 2 - 3i times 2i = 10 + 10i - 6i - 6i^2
Vamos calcular o numerador:
10 + 10i - 6i - 6(-1) = 10 + 4i + 6 = 16 + 4i
Lembrando que (2 - 2i)(2 + 2i) = 2^2 - (2i)^2 = 4 - 4i^2 = 4 - 4(-1) = 4 + 4 = 8 :
f(2 - i) = 16 + 4i8 = 2 + 0.5i
Agora o denominador:
Então, a fração simplificada fica:

Resposta

A imagem do ponto pela função é .

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