Dadas as funções , determine as imagens dos pontos indicados. .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função complexa e precisa descobrir a imagem do ponto . Isso quer dizer que vamos substituir esse valor na função para ver pra onde ele é mapeado. Para isso, vamos precisar lembrar como trabalhar com números complexos, especialmente com a conjugada de um número e realizar operações de divisão envolvendo números complexos.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir na função . Ou seja, vamos colocar esse valor no lugar de na expressão:
Passo 3
Vamos calcular (a + b i)^2 = a^2 + 2 a b i + (b i)^2 . Para elevar um número complexo ao quadrado, usamos a fórmula:
Para simplificar essa divisão, multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador, que é f(2 - i) = (5 - 3i)(2 + 2i)(2 - 2i)(2 + 2i) :
(5 - 3i)(2 + 2i) = 5 times 2 + 5 times 2i - 3i times 2 - 3i times 2i = 10 + 10i - 6i - 6i^2