Dadas as funções f(z), determine as imagens dos pontos indicados.
f(z)=z^3+1z^3, z=1+i.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a imagem de z=1+i pela função f(z)=z³+1/z³, ou seja, precisamos encontrar z³ e z⁻³ para z=1+i e depois somá-los. O conteúdo envolve potência e recíproca de número complexo.

Passo 2

Para calcular z³, podemos usar a forma algébrica direta. Primeiro, colocamos em bloco (1+i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 2i, depois colocamos em bloco (1+i)^3 = (1+i)^2,(1+i) = 2i,(1+i) = 2i + 2i^2 = -2 + 2i

Passo 3

Para calcular z⁻³, começamos achando z⁻¹: colocamos em bloco 11+i = 1-i(1+i)(1-i) = 1-i2, depois elevamos ao cubo: colocamos em bloco (1-i2)^3 = (1-i)^38 Expandindo (1−i)³: colocamos em bloco (1-i)^2 = 1 - 2i + (-1) = -2i, colocamos em bloco (1-i)^3 = (1-i)^2,(1-i) = -2i,(1-i) = -2i + 2i^2 = -2 - 2i Logo, colocamos em bloco z^-3 = -2 - 2i8 = -14 - i4

Passo 4

Finalmente somamos z³ + z⁻³: colocamos em bloco f(1+i) = (-2 + 2i) + l(-14 - i4r) = -2 - 14 + il(2 - 14r) = -94 + i,74

Resposta

-tfrac94 + i,tfrac74

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