a. Determine o domínio da função complexa
f(z)=z^3z^2-(3-i) z+4

Passo 1

O exercício pede para determinar o domínio da função complexa
f(z)=\frac{z{3}}{z{2}-(3-i)z+4}.
O conteúdo aqui é identificar as singularidades de uma função meromorfa, ou seja, os pontos onde o denominador se anula. Para resolver, vamos precisar achar as raízes da equação
z^2-(3-i)z+4=0

Passo 2

O domínio de f é todo C exceto os z que tornam o denominador zero. Então precisamos resolver
z^2-(3-i)z+4=0

Passo 3

Para resolver a equação do segundo grau, calculamos o discriminante:
De
Em seguida, determinamos raizDe. Seja raiz-8-6i=x+yi com
x^2-y^2=-8,
2xy=-6implies xy=-3
Dessa forma obtemos x=1, y=-3 e raizDe (a outra raiz é seu oposto).

Passo 4

As raízes da equação são
z=(3-i)pm(1-3i)2
Calculando separadamente:
z1=3-i+1-3i2=4-4i2=2-2i,
z2=3-i-(1-3i)2=2+2i2=1+i

Passo 5

Logo, as singularidades de f estão em z=1+i e z=2-2i. Portanto, o domínio de f é todos os números complexos, exceto esses dois pontos. O que nos leva à resposta final abaixo.

Resposta

O domínio é Csetminus1+i,,2-2i.

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