1. Diz-se que uma função f: X \rightarrow \mathbb{R} é limitada superiormente quando sua imagem f(X)=\{f(x) ; x \in X\} é um conjunto limitado superiormente. Então põe-se \sup f=\sup \{f(x) ; x \in X\}. Prove que se f, g: X \rightarrow \mathbb{R} são limitadas superiormente o mesmo ocorre com a soma f+g: X \rightarrow \mathbb{R} e tem-se \sup (f+g) \leq \sup f+\sup g. Dê um exemplo com \sup (f+g)<\sup f+\sup g. Enuncie e prove um resultado análogo para inf.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, se f e g são funções limitadas superiormente em X, então f+g também é limitada superiormente e
\sup(f+g)\le \sup f+\sup g.
Além disso, devemos dar um exemplo em que a desigualdade seja estrita e, por fim, enunciar e provar o análogo para ínfimos.

Passo 2

Como f e g são limitadas superiormente, existem números reais
A = \sup f \quad\text{e}\quad B = \sup g
tais que, para todo x\in X,
f(x)\le A \quad\text{e}\quad g(x)\le B.
Somando as duas desigualdades obtemos
f(x)+g(x)\le A+B,
o que mostra que A+B é uma cota superior para a imagem de f+g.

Passo 3

Pelo fato de \sup(f+g) ser o menor de todos os limites superiores, concluímos
\sup(f+g)\le A+B \quad\Longrightarrow\quad \sup(f+g)\le \sup f + \sup g.

Passo 4

Exemplo com desigualdade estrita: seja X=\{0,1\} e defina
f(0)=0,\;f(1)=1, \quad g(0)=1,\;g(1)=0.
Então
\sup f = 1, \quad \sup g = 1, \quad (f+g)(0) = 1, \quad (f+g)(1) = 1,
logo \sup(f+g)=1<2=\sup f+\sup g.

Passo 5

Análogo para ínfimos. Se f e g são limitadas inferiormente, definamos
m = \inf f, \quad n = \inf g.
Então, para todo x\in X,
f(x)\ge m \quad\text{e}\quad g(x)\ge n \;\Longrightarrow\; f(x)+g(x)\ge m+n.
Isso mostra que m+n é cota inferior de f+g, e portanto
\inf(f+g)\ge m+n \quad\Longrightarrow\quad \inf(f+g)\ge \inf f + \inf g.

Resposta

\sup(f+g)\le \sup f + \sup g,
Exemplo de estrita: em X=\{0,1\} com f(0)=0,f(1)=1 e g(0)=1,g(1)=0 temos
\sup f = \sup g = 1,\quad \sup(f+g)=1<2.
Análogo para ínfimos:
\inf(f+g)\ge \inf f + \inf g.

Exercícios relacionados