- Diz-se que uma função
é limitada superiormente quando sua imagem
é um conjunto limitado superiormente. Então põe-se
. Prove que se
são limitadas superiormente o mesmo ocorre com a soma
e tem-se
. Dê um exemplo com
. Enuncie e prove um resultado análogo para inf.
Passo 1
O enunciado pede para provar que, se
e
são funções limitadas superiormente em
, então
também é limitada superiormente e
Além disso, devemos dar um exemplo em que a desigualdade seja estrita e, por fim, enunciar e provar o análogo para ínfimos.
Passo 2
Como
e
são limitadas superiormente, existem números reais
tais que, para todo
,
Somando as duas desigualdades obtemos
o que mostra que
é uma cota superior para a imagem de
.
Passo 3
Pelo fato de
ser o menor de todos os limites superiores, concluímos
Passo 4
Exemplo com desigualdade estrita: seja
e defina
Então
logo
.
Passo 5
Análogo para ínfimos. Se
e
são limitadas inferiormente, definamos
Então, para todo
,
Isso mostra que
é cota inferior de
, e portanto
Resposta
Exemplo de estrita: em
com
e
temos
Análogo para ínfimos: