Dadas as funções f(x) = sen x e g(x) = pi [[x]]^1, determine os domínios e as imagens das funções compostas f(g) e g(f).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas funções: e . Nosso objetivo é encontrar os domínios e as imagens das funções compostas e . Para isso, vamos precisar entender o que cada função faz e como compô-las.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as funções individualmente.
  • Função :
    • Domínio: Todos os números reais, já que o seno está definido para qualquer .
    • Imagem: O seno de qualquer número está sempre entre -1 e 1, ou seja, .
  • Função :
    • Aqui, representa a função piso ou parte inteira, que retorna o maior inteiro menor ou igual a .
    • Domínio: Também todos os números reais, pois a função piso é definida para qualquer .
    • Imagem: Multiplicando a parte inteira por , a imagem será vezes qualquer número inteiro, ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos compor as funções começando com , que significa .
  • Composição .
  • Sabendo que é inteiro, , onde é inteiro.
  • O seno de múltiplos inteiros de é sempre 0, pois para qualquer inteiro .
Conclusão para :
  • Domínio: Todos os números reais.
  • Imagem: Apenas o valor 0, ou seja, .

Passo 4

Agora vamos para a composição , que significa .
  • Composição .
  • Como está sempre entre -1 e 1, a parte inteira pode ser:
    • -1, se estiver entre -1 e 0 (exclusivo).
    • 0, se for exatamente 0 ou estiver entre 0 e 1.
Então, ou , ou seja, pode ser -π ou 0.
Conclusão para :
  • Domínio: Todos os números reais.
  • Imagem: Os valores -π e 0, ou seja, .

Resposta

Para as funções compostas:
  • :
    • Domínio: (todos os números reais).
    • Imagem: .
  • :
    • Domínio: (todos os números reais).
    • Imagem: .

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