Dadas as funções quadráticas, esboce os gráficos referentes às essas funções.
Passo 1
O que o enunciado pede: esboçar o gráfico da função quadrática
.
Informações dadas (copiadas do enunciado):
- A expressão da função é
.
O objetivo prático aqui é encontrar as informações-chave que permitem desenhar a parábola: vértice, eixo de simetria, interceptos com os eixos (se existirem), concavidade e alguns pontos auxiliares para traçar o contorno da curva.
Passo 2
Identificar os coeficientes e o sentido de abertura da parábola.
-
Coeficientes:
, , .
Explicação rápida: em uma quadrática genérica, esses são os números que aparecem multiplicando , e o termo constante, respectivamente. -
Sentido da abertura: como
, a parábola abre para baixo (tem um máximo).
Por quê: o sinal dedetermina se é “côncava para cima” ( ) ou “côncava para baixo” ( ). Aqui é côncava para baixo.
Passo 3
Calcular o vértice usando a fórmula do eixo de simetria e substituição.
-
A abscissa do vértice (eixo de simetria) é dada por
.
Substituindo: -
A ordenada do vértice é
. Vamos calcular passo a passo: Calcule cada termo:Somando:Portanto o vértice é, ou numericamente .
Passo 4
Colocar a função na forma vértice (completar quadrado) — isso ajuda a visualizar a parábola.
Começamos com
. Fatore
dos termos quadráticos:
Agora completamos o quadrado dentro do parêntese. Para
, o termo a juntar e subtrair é
:
Substituindo:
Calcule
e
. Assim:
Essa é a forma vértice e confirma o vértice
. A forma mostra claramente que a parábola está centrada em
e tem coeficiente
que controla a “abertura” (quanto mais negativo e em módulo maior, mais “estreita” e invertida).
Passo 5
Verificar as raízes reais (interseções com o eixo
) usando o discriminante.
-
O discriminante é
. Substituindo: -
Como
, a equação não tem raízes reais. Conclusão: a parábola NÃO corta o eixo (nenhum intercepto em ).
Explicação curta: o discriminante indica quantas raízes reais uma quadrática tem — se é negativo, não há pontos reais onde
.
Passo 6
Encontrar intercepto com o eixo
e alguns pontos auxiliares para desenhar.
-
Intercepto com
(quando ): . Ponto . -
Pontos simétricos em relação ao eixo
: é bom calcular um par de pontos à mesma distância do eixo para traçar a curva corretamente. Por exemplo, escolha e (ambos estão a distância de ): -
Ponto . -
Ponto .
Esses dois pontos são simétricos em relação à linha.
-
-
Outro ponto já calculado:
(útil se quiser estender o esboço).
Passo 7
Instruções práticas para esboçar o gráfico e observações finais.
-
Passos para desenhar:
- Marque o vértice em
(aprox. ). Este é o ponto máximo da parábola. - Trace a linha do eixo de simetria
. - Marque o intercepto com
em . - Marque os pontos simétricos
e . - Como não há interceptos em
(discriminante negativo), a parábola fica inteiramente abaixo do eixo . - Desenhe a curva abrindo para baixo, passando pelos pontos marcados, mais “estreita” que
porque (quanto maior , mais estreita).
- Marque o vértice em
-
Domínio e imagem (intervalo de valores de
): - Domínio: todos os reais, isto é
. - Imagem (valores de
): por abrir para baixo e ter máximo em , temos . Em notação de intervalo: .
- Domínio: todos os reais, isto é
Dica de escala: coloque o eixo
de
a
e o eixo
de
a
para visualizar bem o vértice e os pontos mencionados.
Força aí — com esses pontos e a forma vértice você consegue traçar um esboço fiel da parábola em poucos minutos.
Resposta
Vértice:
Eixo de simetria:
Abre para baixo (pois )
Interceptos com : nenhum (discriminante
)
Intercepto com :
Domínio:
Imagem:
Eixo de simetria:
Abre para baixo (pois
Interceptos com
Intercepto com
Domínio:
Imagem: