Dadas as funções quadráticas, esboce os gráficos referentes às essas funções.
f(x)=-2 x^{2}+x-3

Passo 1

O que o enunciado pede: esboçar o gráfico da função quadrática f(x) = -2x^{2} + x - 3.
Informações dadas (copiadas do enunciado):
  • A expressão da função é f(x) = -2x^{2} + x - 3.
O objetivo prático aqui é encontrar as informações-chave que permitem desenhar a parábola: vértice, eixo de simetria, interceptos com os eixos (se existirem), concavidade e alguns pontos auxiliares para traçar o contorno da curva.

Passo 2

Identificar os coeficientes e o sentido de abertura da parábola.
  • Coeficientes: a = -2, b = 1, c = -3.
    Explicação rápida: em uma quadrática genérica ax^{2}+bx+c, esses são os números que aparecem multiplicando x^{2}, x e o termo constante, respectivamente.
  • Sentido da abertura: como a = -2 < 0, a parábola abre para baixo (tem um máximo).
    Por quê: o sinal de a determina se é “côncava para cima” ( a>0) ou “côncava para baixo” ( a<0). Aqui é côncava para baixo.

Passo 3

Calcular o vértice usando a fórmula do eixo de simetria e substituição.
  • A abscissa do vértice (eixo de simetria) é dada por x_{v} = -\dfrac{b}{2a}.
    Substituindo: x_{v} = -\dfrac{1}{2\cdot(-2)} = -\dfrac{1}{-4} = \dfrac{1}{4}.
  • A ordenada do vértice é y_{v} = f\!\left(\dfrac{1}{4}\right). Vamos calcular passo a passo:
    f\!\left(\dfrac{1}{4}\right) = -2\left(\dfrac{1}{4}\right)^{2} + \left(\dfrac{1}{4}\right) - 3.
    Calcule cada termo:
    \left(\dfrac{1}{4}\right)^{2} = \dfrac{1}{16},\quad -2\cdot\dfrac{1}{16} = -\dfrac{1}{8},\quad \dfrac{1}{4} = \dfrac{2}{8},\quad -3 = -\dfrac{24}{8}.
    Somando:
    -\dfrac{1}{8} + \dfrac{2}{8} - \dfrac{24}{8} = \dfrac{1}{8} - \dfrac{24}{8} = -\dfrac{23}{8}.
    Portanto o vértice é \left(\dfrac{1}{4}, -\dfrac{23}{8}\right), ou numericamente \left(0{,}25,\\\ -2{,}875\right).

Passo 4

Colocar a função na forma vértice (completar quadrado) — isso ajuda a visualizar a parábola.
Começamos com f(x) = -2x^{2} + x - 3. Fatore -2 dos termos quadráticos:
f(x) = -2\left(x^{2} - \dfrac{1}{2}x\right) - 3.
Agora completamos o quadrado dentro do parêntese. Para x^{2} - \dfrac{1}{2}x, o termo a juntar e subtrair é \left(\dfrac{1}{4}\right)^{2} = \dfrac{1}{16}:
x^{2} - \dfrac{1}{2}x = \left(x - \dfrac{1}{4}\right)^{2} - \dfrac{1}{16}.
Substituindo:
f(x) = -2\left(\left(x - \dfrac{1}{4}\right)^{2} - \dfrac{1}{16}\right) - 3 = -2\left(x - \dfrac{1}{4}\right)^{2} + 2\cdot\dfrac{1}{16} - 3.
Calcule 2\cdot\dfrac{1}{16} = \dfrac{1}{8} e \dfrac{1}{8} - 3 = -\dfrac{23}{8}. Assim:
f(x) = -2\left(x - \dfrac{1}{4}\right)^{2} - \dfrac{23}{8}.
Essa é a forma vértice e confirma o vértice \left(\dfrac{1}{4}, -\dfrac{23}{8}\right). A forma mostra claramente que a parábola está centrada em x=\dfrac{1}{4} e tem coeficiente -2 que controla a “abertura” (quanto mais negativo e em módulo maior, mais “estreita” e invertida).

Passo 5

Verificar as raízes reais (interseções com o eixo x) usando o discriminante.
  • O discriminante é \Delta = b^{2}-4ac. Substituindo: \Delta = 1^{2} - 4\cdot(-2)\cdot(-3) = 1 - 24 = -23.
  • Como \Delta < 0, a equação f(x)=0 não tem raízes reais. Conclusão: a parábola NÃO corta o eixo x (nenhum intercepto em x).
Explicação curta: o discriminante indica quantas raízes reais uma quadrática tem — se é negativo, não há pontos reais onde f(x)=0.

Passo 6

Encontrar intercepto com o eixo y e alguns pontos auxiliares para desenhar.
  • Intercepto com y (quando x=0): f(0) = -3. Ponto (0, -3).
  • Pontos simétricos em relação ao eixo x=\dfrac{1}{4}: é bom calcular um par de pontos à mesma distância do eixo para traçar a curva corretamente. Por exemplo, escolha x=1 e x=-\tfrac{1}{2} (ambos estão a distância 0{,}75 de 0{,}25):
    • f(1) = -2(1)^{2} + 1 - 3 = -2 + 1 - 3 = -4. Ponto (1,-4).
    • f\!\left(-\tfrac{1}{2}\right) = -2\left(\tfrac{1}{4}\right) - \tfrac{1}{2} - 3 = -\tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{2} - 3 = -4. Ponto \left(-\tfrac{1}{2}, -4\right).
      Esses dois pontos são simétricos em relação à linha x=\dfrac{1}{4}.
  • Outro ponto já calculado: f(-1) = -6 (útil se quiser estender o esboço).

Passo 7

Instruções práticas para esboçar o gráfico e observações finais.
  • Passos para desenhar:
    1. Marque o vértice em \left(\dfrac{1}{4}, -\dfrac{23}{8}\right) (aprox. (0{,}25,\,-2{,}875)). Este é o ponto máximo da parábola.
    2. Trace a linha do eixo de simetria x = \dfrac{1}{4}.
    3. Marque o intercepto com y em (0,-3).
    4. Marque os pontos simétricos (1,-4) e \left(-\tfrac{1}{2},-4\right).
    5. Como não há interceptos em x (discriminante negativo), a parábola fica inteiramente abaixo do eixo x.
    6. Desenhe a curva abrindo para baixo, passando pelos pontos marcados, mais “estreita” que y=-x^{2} porque |a|=2 (quanto maior |a|, mais estreita).
  • Domínio e imagem (intervalo de valores de y):
    • Domínio: todos os reais, isto é (-\infty, +\infty).
    • Imagem (valores de y): por abrir para baixo e ter máximo em y_{v} = -\dfrac{23}{8}, temos y \le -\dfrac{23}{8}. Em notação de intervalo: (-\infty,\\\ -\dfrac{23}{8}].
Dica de escala: coloque o eixo x de -2 a 2 e o eixo y de -8 a 0 para visualizar bem o vértice e os pontos mencionados.
Força aí — com esses pontos e a forma vértice você consegue traçar um esboço fiel da parábola em poucos minutos.

Resposta

Vértice: \left(\dfrac{1}{4}, -\dfrac{23}{8}\right)
Eixo de simetria: x = \dfrac{1}{4}
Abre para baixo (pois a = -2 < 0)
Interceptos com x: nenhum (discriminante \Delta = -23 < 0)
Intercepto com y: (0, -3)
Domínio: (-\infty, +\infty)
Imagem: (-\infty, -\dfrac{23}{8}]

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