Dadas as funções quadráticas, esboce os gráficos referentes às essas funções.
f(x)=-x^{2}-5 x-6

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função quadrática f(x)=-x^{2}-5x-6. Vou listar claramente o que temos e o que precisamos obter para desenhar o gráfico:
  • Função dada: f(x)=-x^{2}-5x-6.
  • O que normalmente precisamos para esboçar uma parábola: concavidade (abre para cima ou para baixo), raízes (interseções com o eixo x), intercepto com o eixo y, vértice (coordenadas e se é máximo ou mínimo), eixo de simetria, domínio e imagem (intervalo de valores de y).
  • Estes são os dados que vamos calcular passo a passo para depois desenhar.

Passo 2

Determinar a concavidade e os coeficientes padrão.
  • A forma geral de uma quadrática é ax^{2}+bx+c. Aqui a=-1, b=-5, c=-6.
  • Se a>0 a parábola abre para cima (vértice mínimo). Se a<0 abre para baixo (vértice máximo). Como a=-1<0, a parábola abre para baixo e o vértice será um ponto de máximo.
  • Anotado: a=-1,\; b=-5,\; c=-6.

Passo 3

Encontrar as raízes (zeros) fatorando ou usando fórmula quadrática.
  • Observação: podemos tentar fatorar. Reescrevendo:
f(x)=-x^{2}-5x-6=-(x^{2}+5x+6).
  • O polinômio x^{2}+5x+6 fatora como (x+2)(x+3), pois 2+3=5 e 2\cdot3=6.
  • Logo
f(x)=-(x+2)(x+3).
  • As raízes surgem quando f(x)=0, isto é quando (x+2)(x+3)=0. Assim as raízes são
x=-2\quad\text{e}\quad x=-3.
  • Esses são os pontos onde a parábola cruza o eixo x: (-2,0) e (-3,0).

Passo 4

Calcular o intercepto com o eixo y.
  • O intercepto em y é f(0). Calculando:
f(0)=-0^{2}-5\cdot0-6=-6.
  • Portanto o ponto de interseção com o eixo y é (0,-6).

Passo 5

Calcular o vértice usando a fórmula do eixo de simetria x_v=-\dfrac{b}{2a} e depois y_v=f(x_v).
  • Fórmula: para ax^{2}+bx+c, a abscissa do vértice é
x_v=-\dfrac{b}{2a}.
  • Substituindo a=-1 e b=-5:
x_v=-\dfrac{-5}{2\cdot(-1)}=\dfrac{5}{-2}=-2,5.
  • Agora calcular y_v=f(-2,5). Fazer passo a passo:
(-2,5)^{2}=6,25,
f(-2,5)=-6,25-5\cdot(-2,5)-6.
Calcule o termo do meio: -5\cdot(-2,5)=12,5. Então
f(-2,5)=-6,25+12,5-6=0,25.
  • Logo o vértice é (-2,5,\;0,25). Como a parábola abre para baixo, este vértice é um máximo com valor máximo y=0,25.

Passo 6

Opcional (útil para entender a forma): escrever em forma de vértice completando o quadrado.
  • Vamos completar o quadrado em f(x)=-x^{2}-5x-6. Primeiro fatoramos -1 dos dois primeiros termos:
f(x)=-\bigl(x^{2}+5x\bigr)-6.
  • Para completar o quadrado em x^{2}+5x, adiciona-se e subtrai-se \left(\dfrac{5}{2}\right)^{2}=\dfrac{25}{4}=6,25:
x^{2}+5x = \bigl(x^{2}+5x+6,25\bigr)-6,25 = (x+2,5)^{2}-6,25.
  • Substituindo:
f(x)=-\bigl((x+2,5)^{2}-6,25\bigr)-6=-(x+2,5)^{2}+6,25-6=-(x+2,5)^{2}+0,25.
  • Esta é a forma de vértice. Confirma que o vértice é em x=-2,5 com y=0,25, e que a parábola tem coeficiente -1 na frente de (x+2,5)^{2}, reforçando que abre para baixo.

Passo 7

Domain, imagem e eixo de simetria.
  • Domínio: toda reta real, então \mathrm{dom}\,f=\mathbb{R}.
  • Imagem (intervalo dos valores de y): como a parábola abre para baixo e tem máximo y=0,25, a imagem é
\mathrm{im}\,f=(-\infty,\,0,25].
  • Eixo de simetria: é a reta vertical que passa pelo vértice, dada por
x=-2,5.

Passo 8

Instruções passo a passo para esboçar (o que você deve desenhar no papel — bem simples):
  1. Faça um sistema de eixos x e y. Marque a escala de x de, por exemplo, -5 a 2 e de y de -8 a 2 (ou ajuste para caber os pontos).
  2. Marque as raízes (-3,0) e (-2,0).
  3. Marque o intercepto (0,-6).
  4. Marque o vértice (-2,5,\,0,25) — note que 0,25 é bem perto de zero, ligeiramente positivo.
  5. Desenhe a reta vertical x=-2,5 como guia de simetria (opcional, tracejada).
  6. Desenhe uma curva suave que passa por (-3,0) e (-2,0), atinge o máximo em (-2,5,\,0,25) e desce passando por (0,-6), simétrica em relação a x=-2,5. Como a parábola abre para baixo, lembre-se de arredondar o topo no vértice (máximo).
  7. Verifique providenciando alguns pontos adicionais se quiser mais precisão, por exemplo f(-4) e f(1):
f(-4)= -(-4)^{2}-5(-4)-6 = -16+20-6=-2,
f(1)=-1-5-6=-12,
que ajudam a ajustar a curvatura longe do vértice.

Resposta

Vértice: (-2,5,\;0,25)
Eixo de simetria: x=-2,5
Raízes (intersecções com x): (-3,0) e (-2,0)
Intercepto com y: (0,-6)
Concavidade: abre para baixo (coeficiente a=-1<0) — vértice é máximo y_{\max}=0,25
Domínio: \mathbb{R}
Imagem: (-\infty,\,0,25]

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