Dadas as funções quadráticas, esboce os gráficos referentes às essas funções.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico da função quadrática
. Vou listar claramente o que temos e o que precisamos obter para desenhar o gráfico:
- Função dada:
. - O que normalmente precisamos para esboçar uma parábola: concavidade (abre para cima ou para baixo), raízes (interseções com o eixo
), intercepto com o eixo , vértice (coordenadas e se é máximo ou mínimo), eixo de simetria, domínio e imagem (intervalo de valores de ). - Estes são os dados que vamos calcular passo a passo para depois desenhar.
Passo 2
Determinar a concavidade e os coeficientes padrão.
- A forma geral de uma quadrática é
. Aqui , , . - Se
a parábola abre para cima (vértice mínimo). Se abre para baixo (vértice máximo). Como , a parábola abre para baixo e o vértice será um ponto de máximo. - Anotado:
.
Passo 3
Encontrar as raízes (zeros) fatorando ou usando fórmula quadrática.
- Observação: podemos tentar fatorar. Reescrevendo:
- O polinômio
fatora como , pois e . - Logo
- As raízes surgem quando
, isto é quando . Assim as raízes são
- Esses são os pontos onde a parábola cruza o eixo
: e .
Passo 4
Calcular o intercepto com o eixo
.
- O intercepto em
é . Calculando:
- Portanto o ponto de interseção com o eixo
é .
Passo 5
Calcular o vértice usando a fórmula do eixo de simetria
e depois
.
- Fórmula: para
, a abscissa do vértice é
- Substituindo
e :
- Agora calcular
. Fazer passo a passo:
Calcule o termo do meio:
. Então
- Logo o vértice é
. Como a parábola abre para baixo, este vértice é um máximo com valor máximo .
Passo 6
Opcional (útil para entender a forma): escrever em forma de vértice completando o quadrado.
- Vamos completar o quadrado em
. Primeiro fatoramos dos dois primeiros termos:
- Para completar o quadrado em
, adiciona-se e subtrai-se :
- Substituindo:
- Esta é a forma de vértice. Confirma que o vértice é em
com , e que a parábola tem coeficiente na frente de , reforçando que abre para baixo.
Passo 7
Domain, imagem e eixo de simetria.
- Domínio: toda reta real, então
. - Imagem (intervalo dos valores de
): como a parábola abre para baixo e tem máximo , a imagem é
- Eixo de simetria: é a reta vertical que passa pelo vértice, dada por
Passo 8
Instruções passo a passo para esboçar (o que você deve desenhar no papel — bem simples):
- Faça um sistema de eixos
e . Marque a escala de de, por exemplo, a e de de a (ou ajuste para caber os pontos). - Marque as raízes
e . - Marque o intercepto
. - Marque o vértice
— note que é bem perto de zero, ligeiramente positivo. - Desenhe a reta vertical
como guia de simetria (opcional, tracejada). - Desenhe uma curva suave que passa por
e , atinge o máximo em e desce passando por , simétrica em relação a . Como a parábola abre para baixo, lembre-se de arredondar o topo no vértice (máximo). - Verifique providenciando alguns pontos adicionais se quiser mais precisão, por exemplo
e :
que ajudam a ajustar a curvatura longe do vértice.
Resposta
Vértice:
Eixo de simetria:
Raízes (intersecções com ):
e
Intercepto com :
Concavidade: abre para baixo (coeficiente ) — vértice é máximo
Domínio:
Imagem:
Eixo de simetria:
Raízes (intersecções com
Intercepto com
Concavidade: abre para baixo (coeficiente
Domínio:
Imagem: