Resolva as seguintes inequações:
se
Passo 1
O enunciado dá a inequação
no intervalo
.
O que pede: encontrar todos os valores de nesse intervalo que satisfazem a inequação.
Informações explícitas do enunciado:
O que pede: encontrar todos os valores de
Informações explícitas do enunciado:
- A expressão a analisar é
. - O domínio considerado é o intervalo
.
Passo 2
Entendendo o que significa um produto ser menor ou igual a zero. Para quaisquer números reais
e
vale:
se, e somente se, ou
ou
ou
e
têm sinais opostos (um positivo e outro negativo). Vou aplicar isso a
e
.
No nosso intervalo temos
. Por isso a análise se simplifica:
- Se
então e a inequação é satisfeita. - Para
podemos dividir por (positivo) sem mudar o sentido da desigualdade. Assim, para a inequação equivale a
Passo 3
Resolver
em forma geral e depois restringir ao intervalo. A solução geral é
Agora restringindo a
obtemos os valores com
e
:
Esses pontos são zeros de
dentro do intervalo dado.
Passo 4
Determinar onde
em
. Lembrete rápido (visão na circunferência unitária / quadrantes):
- Em
(quadrante I) tem-se . - Em
(quadrante II) tem-se . - Em
(quadrante III) tem-se . - Em
(quadrante IV) tem-se .
Logo,
ocorre exatamente para
(As extremidades estão incluídas porque em
e
temos
.)
Passo 5
Combinar as duas partes: lembrando que
também satisfaz a inequação mesmo que
, porque
. Para
a condição virou
, que deu o intervalo
.
Portanto todos os
em
que satisfazem
são
Passo 6
Verificação rápida por testes de ponto (sempre bom na prova):
- Para
tem-se — ok. - Para
tem-se — não pertence à solução. - Para
tem-se — não pertence.
Esses testes confirmam o raciocínio.