Resolva as seguintes inequações:
x \cos (x) \leq 0 se 0 \leq x \leq 2 \pi

Passo 1

O enunciado dá a inequação
x\cos(x)\leq 0
no intervalo 0\leq x\leq 2\pi.
O que pede: encontrar todos os valores de x nesse intervalo que satisfazem a inequação.
Informações explícitas do enunciado:
  • A expressão a analisar é x\cos(x).
  • O domínio considerado é o intervalo [0,2\pi].

Passo 2

Entendendo o que significa um produto ser menor ou igual a zero. Para quaisquer números reais a e b vale:
a b \leq 0
se, e somente se, ou a=0 ou b=0 ou a e b têm sinais opostos (um positivo e outro negativo). Vou aplicar isso a a=x e b=\cos(x).
No nosso intervalo temos x\geq 0. Por isso a análise se simplifica:
  • Se x=0 então x\cos(x)=0 e a inequação é satisfeita.
  • Para x>0 podemos dividir por x (positivo) sem mudar o sentido da desigualdade. Assim, para x>0 a inequação equivale a
\cos(x)\leq 0.

Passo 3

Resolver \cos(x)=0 em forma geral e depois restringir ao intervalo. A solução geral é
\cos(x)=0 \iff x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Agora restringindo a 0\leq x\leq 2\pi obtemos os valores com k=0 e k=1:
x=\frac{\pi}{2}\quad\text{e}\quad x=\frac{3\pi}{2}.
Esses pontos são zeros de \cos(x) dentro do intervalo dado.

Passo 4

Determinar onde \cos(x)\leq0 em [0,2\pi]. Lembrete rápido (visão na circunferência unitária / quadrantes):
  • Em 0<x<\frac{\pi}{2} (quadrante I) tem-se \cos(x)>0.
  • Em \frac{\pi}{2}<x<\pi (quadrante II) tem-se \cos(x)<0.
  • Em \pi<x<\frac{3\pi}{2} (quadrante III) tem-se \cos(x)<0.
  • Em \frac{3\pi}{2}<x<2\pi (quadrante IV) tem-se \cos(x)>0.
Logo, \cos(x)\leq 0 ocorre exatamente para
\frac{\pi}{2}\leq x\leq \frac{3\pi}{2}.
(As extremidades estão incluídas porque em x=\frac{\pi}{2} e x=\frac{3\pi}{2} temos \cos(x)=0.)

Passo 5

Combinar as duas partes: lembrando que x=0 também satisfaz a inequação mesmo que \cos(0)=1, porque 0\cdot 1=0. Para x>0 a condição virou \cos(x)\leq0, que deu o intervalo \left[\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right].
Portanto todos os x em [0,2\pi] que satisfazem x\cos(x)\leq0 são
x=0\quad\text{ou}\quad \frac{\pi}{2}\leq x\leq\frac{3\pi}{2}.

Passo 6

Verificação rápida por testes de ponto (sempre bom na prova):
  • Para x=\pi tem-se x\cos x=\pi\cdot(-1)<0 — ok.
  • Para x=\frac{\pi}{4} tem-se x\cos x>0 — não pertence à solução.
  • Para x=2\pi tem-se 2\pi\cdot 1>0 — não pertence.
    Esses testes confirmam o raciocínio.

Resposta

\{0\}\cup\left[\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{2}\right]

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