Dadas as funções y=f(x) a seguir, determine, se possível, as funções inversas y=f^{-1}(x). Determine também D_{f} e D_{f^{-1}}.
h) y=(x+2)^{3}+1;

Passo 1

O enunciado dá a função
y = f(x) = (x+2)^3 + 1
e pede a inversa y=f^{-1}(x), além de determinar D_{f} e D_{f^{-1}}. O conteúdo aqui é função inversa e domínios.

Passo 2

Como f é um polinômio de grau 3, contínuo e definido para todo x\in\mathbb{R}, temos
D_{f} = \mathbb{R}.

Passo 3

Uma vez que o termo principal de f é (x+2)^3 com coeficiente positivo, a função é estritamente crescente e, portanto, bijetora de \mathbb{R} em \mathbb{R}. Logo, existe inversa.

Passo 4

Para achar f^{-1}, começamos de
y = (x+2)^3 + 1
e isolamos x:
y - 1 = (x+2)^3
x + 2 = \sqrt[3]{y - 1}
x = \sqrt[3]{y - 1} \;-\; 2.
Trocando os papéis de x e y, obtemos
f^{-1}(x) = \sqrt[3]{\,x - 1\,} \;-\; 2.

Passo 5

O domínio de f^{-1} é a imagem de f, que sendo cúbica estritamente crescente é todo \mathbb{R}. Assim,
D_{f^{-1}} = \mathbb{R}.

Resposta

f^{-1}(x) = \sqrt[3]{\,x - 1\,} - 2 D_{f} = \mathbb{R} D_{f^{-1}} = \mathbb{R}

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