Para as funções f(x) e g(x) dadas a seguir, determine (f \circ g)(x),(g \circ f)(x),(f \circ f)(x) \mathrm{e} (g \circ g)(x).
f(x)=\log _{2} 3 x e g(x)=2^{x}

Passo 1

O enunciado dá as funções f(x)=\log_{2}(3x) e g(x)=2^{x}
e pede as composições (f\circ g)(x), (g\circ f)(x), (f\circ f)(x) e (g\circ g)(x).
O conteúdo aqui é definição de composição de funções e uso das propriedades de logaritmos e exponenciais: (f\circ g)(x)=f\bigl(g(x)\bigr) e (g\circ f)(x)=g\bigl(f(x)\bigr), etc.

Passo 2

Para (f\circ g)(x) aplicamos g em x e depois f no resultado:
(f\circ g)(x)=f\bigl(g(x)\bigr)=\log_{2}\bigl(3\cdot 2^{x}\bigr).
Usando \log_{2}(ab)=\log_{2}(a)+\log_{2}(b) e \log_{2}(2^{x})=x, obtemos
(f\circ g)(x)=x+\log_{2}(3).

Passo 3

Para (g\circ f)(x) aplicamos f em x e depois g no resultado:
(g\circ f)(x)=g\bigl(f(x)\bigr)=2^{\log_{2}(3x)}.
Como a exponenciação de base 2 é inversa do logaritmo na base 2, fica
(g\circ f)(x)=3x.

Passo 4

Para (f\circ f)(x) aplicamos f em x e depois f novamente:
(f\circ f)(x)=f\bigl(f(x)\bigr) =\log_{2}\!\bigl(3\cdot \log_{2}(3x)\bigr).

Passo 5

Para (g\circ g)(x) aplicamos g em x e depois g no resultado:
(g\circ g)(x)=g\bigl(g(x)\bigr)=2^{2^{x}}.

Resposta

(f\circ g)(x)=x+\log_{2}(3) (g\circ f)(x)=3x (f\circ f)(x)=\log_{2}\bigl(3\log_{2}(3x)\bigr) (g\circ g)(x)=2^{2^{x}}

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