Para as funções f(x) e g(x) dadas a seguir, determine (f \circ g)(x),(g \circ f)(x),(f \circ f)(x) \mathrm{e} (g \circ g)(x).
f(x)=3 x^{2}+\frac{5}{x} e g(x)=e^{2 x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular quatro composições de funções: (f\circ g)(x), (g\circ f)(x), (f\circ f)(x) e (g\circ g)(x). O conteúdo é “composição de funções”, que consiste em substituir a saída de uma função como entrada de outra. As duas funções dadas são
f(x)=3x^{2}+\frac{5}{x},
g(x)=e^{2x}.

Passo 2

Para obter (f\circ g)(x) fazemos f(g(x)), ou seja, substituímos x por g(x)=e^{2x} em f:
(f\circ g)(x) =3\bigl(e^{2x}\bigr)^{2}+\frac{5}{e^{2x}} =3e^{4x}+5e^{-2x}.

Passo 3

Para (g\circ f)(x) calculamos g(f(x)), substituindo x por f(x)=3x^{2}+\tfrac{5}{x} em g:
(g\circ f)(x) =e^{2\,f(x)} =e^{2\bigl(3x^{2}+\tfrac{5}{x}\bigr)} =e^{6x^{2}+\tfrac{10}{x}}.

Passo 4

Para (f\circ f)(x) fazemos f(f(x)), ou seja, substituímos x por f(x) em f:
(f\circ f)(x) =3\Bigl(3x^{2}+\frac{5}{x}\Bigr)^{2} +\frac{5}{\,3x^{2}+\tfrac{5}{x}\,}.

Passo 5

Para (g\circ g)(x) calculamos g(g(x)), substituindo x por g(x)=e^{2x} em g:
(g\circ g)(x) =e^{2\,g(x)} =e^{2e^{2x}}.

Resposta

(f\circ g)(x)=3e^{4x}+5e^{-2x} (g\circ f)(x)=e^{6x^{2}+\tfrac{10}{x}} (f\circ f)(x)=3\bigl(3x^{2}+\tfrac{5}{x}\bigr)^{2}+\dfrac{5}{3x^{2}+\tfrac{5}{x}} (g\circ g)(x)=e^{2e^{2x}}

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