Dadas as funções a seguir, indique se é inversível e caso positivo, ache sua inversa.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para verificar se a função $ f(x) = \frac{1}{1 - x^2} $ é inversível e, se for, encontrar a sua inversa. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser inversível e como encontrar a função inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função inversa. Uma função inversa, $ f^{-1}(x) $, “desfaz” o que a função original faz. Ou seja, se $ f(a) = b $, então $ f^{-1}(b) = a $. Para uma função ser inversível, ela precisa ser injetora, ou seja, cada valor de saída é associado a apenas um valor de entrada.
Passo 3
Vamos verificar se $ f(x) = \frac{1}{1 - x^2} $ é injetora. Para isso, vamos analisar seu comportamento. Note que a função tem pontos onde o denominador é zero, ou seja, $ 1 - x^2 = 0 $. Resolvendo essa equação:
Então, a função não está definida para $ x = 1 $ e $ x = -1 $. Além disso, vamos observar que $ f(x) $ pode assumir o mesmo valor para dois valores diferentes de $ x $. Por exemplo:
Aqui, vemos que $ f(2) = f(-2) $, mas $ 2 \neq -2 $. Portanto, a função não é injetora no seu domínio completo.
Passo 4
Como a função não é injetora em todo o seu domínio, ela não é inversível dessa forma. No entanto, se restringirmos o domínio da função para que ela seja injetora, podemos encontrar uma inversa.
Vamos considerar dois casos:
- Domínio $ x < 1 $ e $ x \neq -1 $
- Domínio $ x > 1 $ ou $ x < -1 $
Vamos escolher o primeiro caso para encontrar a inversa.
Passo 5
Vamos restringir o domínio para $ x < 1 $ e $ x \neq -1 $. Agora, a função $ f(x) = \frac{1}{1 - x^2} $ é injetora nesse intervalo. Vamos encontrar a inversa seguindo os passos:
- Substitua $ f(x) $ por $ y $:
- Troque $ x $ e $ y $:
- Resolva para $ y $:
Como restringimos o domínio para $ x < 1 $, escolhemos o sinal que mantém a consistência com o domínio original.
Passo 6
Considerando $ x < 1 $, a expressão $ \frac{x - 1}{x} $ resulta em um número positivo (já que $ x - 1 $ é negativo e $ x $ também é negativo, o que torna a fração positiva). Portanto, a função inversa será:
Resposta
A função $ f(x) = \frac{1}{1 - x^2} $ não é inversível no seu domínio completo. Porém, restringindo o domínio para $ x < 1 $ e $ x \neq -1 $, ela é inversível e a sua inversa é: