Dadas as funções a seguir, encontre seu domínio e sua imagem.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o domínio e a imagem da função $ f(x) = \sqrt{1 - x^{2}} $. Isso envolve entender um pouco sobre funções e como elas se comportam, especialmente quando temos raízes quadradas.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de $ x $ para os quais a função está definida. No caso de uma raiz quadrada, o que está dentro dela precisa ser maior ou igual a zero, porque não dá pra tirar raiz quadrada de número negativo em números reais.
Então, temos que garantir que:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa inequação:
Podemos rearranjar para:
Isso significa que os valores de $ x $ cujo quadrado é menor ou igual a 1 são aceitos. Vamos encontrar para quais $ x $ isso acontece.
Passo 4
Sabemos que $ x^{2} \leq 1 $ ocorre quando $ x $ está entre -1 e 1. Então:
Portanto, o domínio da função é todos os números reais de -1 a 1.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a imagem da função, que é o conjunto de todos os valores que $ f(x) $ pode assumir. Como temos uma raiz quadrada, o resultado será sempre maior ou igual a zero.
Vamos analisar:
Quando $ x = 0 $:
E quando $ x = \pm1 $:
Isso indica que $ f(x) $ varia de 0 a 1.
Resposta
- Domínio: $ -1 \leq x \leq 1 $
- Imagem: $ 0 \leq f(x) \leq 1 $