Dadas as funções a seguir, indique se é inversível e caso positivo, ache sua inversa.
(a)
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Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para indicar se a função $ f(x) = 1 - x^{2} $ é inversível e, se for, encontrar a sua inversa. Para isso, vamos trabalhar com conceitos de funções inversas e verificar se a função dada é uma função bijetora (ou seja, se é injetora e sobrejetora) dentro de seu domínio.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa uma função ser inversível. Uma função é inversível se existir outra função que “desfaz” a ação da primeira. Isso acontece quando a função original é injetora (cada valor do domínio corresponde a um valor único no contradomínio) e sobrejetora (cobre todo o contradomínio).
Vamos verificar se $ f(x) = 1 - x^{2} $ é injetora.
Passo 3
Para verificar se a função é injetora, analisamos se valores diferentes de $ x $ produzem valores diferentes de $ f(x) $. Observamos que a função $ f(x) = 1 - x^{2} $ é uma parábola voltada para baixo, o que significa que para cada $ y $ na parte decrescente da parábola, há dois valores de $ x $ que produzem esse $ y $.
Por exemplo:
- $ f(1) = 1 - (1)^2 = 0 $
- $ f(-1) = 1 - (-1)^2 = 0 $
Aqui vemos que $ f(1) = f(-1) $, mas $ 1 \neq -1 $, o que mostra que a função não é injetora.
Passo 4
Como a função $ f(x) = 1 - x^{2} $ não é injetora, ela não é inversível no seu domínio inteiro. Para que a função seja inversível, precisaríamos restringir seu domínio a um intervalo onde ela seja estritamente crescente ou decrescente, garantindo a injetividade. Sem essa restrição, não podemos encontrar uma função inversa única.
Resposta
A função $ f(x) = 1 - x^{2} $ não é inversível no seu domínio completo porque não é injetora.