Dadas as funções a seguir, indique se é inversível e caso positivo, ache sua inversa.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente ver se a função $ f(x) = \ln(1 - x^2) $ é inversível. Se for, temos que achar a função inversa. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser inversível e como encontrar a inversa usando um pouco de álgebra e propriedades dos logaritmos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma função inversa. Uma função $ f $ é inversível se ela for bijetora, ou seja, se ela for injetora (cada valor de saída corresponde a um único valor de entrada) e sobrejetora (cobre todo o conjunto de saída possível). Na prática, pra função ser inversível, ela precisa ser uma para uma.
Passo 3
Vamos verificar se a função $ f(x) = \ln(1 - x^2) $ é uma para uma. Olhando para $ 1 - x^2 $, percebemos que o valor dentro do logaritmo precisa ser positivo, então $ 1 - x^2 > 0 $, o que dá o intervalo $ -1 < x < 1 $.
Passo 4
Dentro desse intervalo, a função $ 1 - x^2 $ é simétrica e não é estritamente crescente ou decrescente em todo o domínio, o que significa que para cada valor de $ y $ há dois valores de $ x $ que dão o mesmo resultado (exceto no ponto $ x=0 $). Isso indica que a função não é injetora no seu domínio completo, então não é inversível nesse caso.
Passo 5
Entretanto, se restringirmos o domínio da função a apenas uma parte onde ela seja estritamente crescente ou decrescente, poderíamos encontrar uma inversa. Por exemplo, se considerarmos $ 0 \leq x < 1 $, a função $ f(x) $ será estritamente decrescente e, assim, inversível nesse intervalo.
Passo 6
Vamos supor que restringimos o domínio para $ 0 \leq x < 1 $. Agora, para achar a inversa, vamos seguir os passos:
- Começamos com $ y = \ln(1 - x^2) $.
- Aplicamos a exponenciação dos dois lados para eliminar o logaritmo: $ e^y = 1 - x^2 $.
- Reorganizamos para isolar $ x^2 $: $ x^2 = 1 - e^y $.
- Tiramos a raiz quadrada dos dois lados (considerando somente valores positivos de $ x $): $ x = \sqrt{1 - e^y} $.
Resposta
Sim, a função $ f(x) = \ln(1 - x^2) $ é inversível se considerarmos o domínio $ 0 \leq x < 1 $. A função inversa é $ f^{-1}(y) = \sqrt{1 - e^y} $.