Dadas as funções a seguir, indique se é inversível e caso positivo, ache sua inversa.
(f)
(f)
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função $ f(x) = \frac{1 + x}{1 - x^{3}} $ e precisamos descobrir se ela é inversível. Para isso, vamos utilizar conceitos de funções inversas e propriedades como injetividade e sobrejetividade. Precisaremos analisar se a função é uma para uma (injetiva) e se cobre todo o seu domínio de saída (sobrejetiva).
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função $ f(x) = \frac{1 + x}{1 - x^{3}} $ é injetiva. Uma função é injetiva se, para valores diferentes de $ x $, os valores de $ f(x) $ também forem diferentes. Isso geralmente significa que a função é estritamente crescente ou estritamente decrescente.
Passo 3
Para verificar se a função é estritamente crescente ou decrescente, vamos calcular a derivada de $ f(x) $. A derivada nos ajuda a entender o comportamento da função.
Usando a regra do quociente para derivadas:
Simplificando:
Passo 4
Observamos o denominador $ (1 - x{3}){2} $. Como é um quadrado, ele sempre será positivo, exceto quando $ x = 1 $, onde a função não está definida.
Agora, analisamos o numerador $ 1 + 3x^{2} + 2x^{3} $:
- Para $ x = 0 $: $ 1 + 0 + 0 = 1 $ (positivo)
- Para $ x = 1 $: $ 1 + 3 + 2 = 6 $ (positivo)
- Para $ x = -1 $: $ 1 + 3 + (-2) = 2 $ (positivo)
- Para $ x = 2 $: $ 1 + 12 + 16 = 29 $ (positivo)
- Para $ x = -2 $: $ 1 + 12 - 16 = -3 $ (negativo)
Passo 5
Vemos que o numerador não é sempre positivo. Por exemplo, para $ x = -2 $, o numerador fica negativo, o que faz a derivada $ f’(x) $ negativa. Isso indica que a função não é estritamente crescente nem estritamente decrescente em todo o seu domínio.
Passo 6
Como a função $ f(x) = \frac{1 + x}{1 - x^{3}} $ não é estritamente crescente nem estritamente decrescente, ela não é injetiva. Sem a injetividade, não podemos garantir que a função possua uma inversa.
Resposta
A função $ f(x) = \frac{1 + x}{1 - x^{3}} $ não é inversível.