Dadas as funções a seguir, indique se é inversível e caso positivo, ache sua inversa.
(d)
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Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função $ f(x) = \frac{1}{1 - x} $ e precisamos descobrir se ela é inversível. Se for, vamos encontrar a sua função inversa. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser inversível e como encontrar a inversa de uma função usando álgebra básica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser inversível. Uma função é inversível se cada valor de saída está associado a apenas um valor de entrada. Isso garante que a função passa no teste da linha horizontal, ou seja, cada linha horizontal corta o gráfico da função em, no máximo, um ponto.
Passo 3
Para verificar se $ f(x) = \frac{1}{1 - x} $ é inversível, precisamos garantir que ela é uma função injetora (ou seja, cada valor de $ y $ tem apenas um $ x $ correspondente). Observando a função, vemos que para qualquer valor de $ x $ diferente de 1, a função está bem definida e cada $ y $ corresponde a um único $ x $. Portanto, $ f(x) $ é inversível.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a função inversa de $ f(x) $. Para isso, vamos seguir os passos para encontrar a inversa de uma função:
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Substituímos $ f(x) $ por $ y $:
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Troca $ x $ por $ y $ e $ y $ por $ x $:
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Agora, resolvemos essa equação para $ y $.
Passo 5
Continuando a resolução, temos:
Vamos resolver para $ y $:
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Multiplicamos ambos os lados por $ 1 - y $:
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Distribuímos $ x $:
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Isolamos o termo com $ y $:
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Dividimos ambos os lados por $ -x $:
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Simplificamos a fração:
Resposta
A função $ f(x) = \frac{1}{1 - x} $ é inversível e a sua função inversa é: