Dadas as matrizes P, B abaixo, determine os autoespaços de P B P^{-1} sem efetuar esse produto.
P=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\\\ 2 & 0 & -1 \\\\ 1 & -1 & 1 \end{array}\right) \text { e } B=\left(\begin{array}{ccc} 3 & 1 & -1 \\\\ 0 & -1 & 4 \\\\ 0 & 0 & 3 \end{array}\right) .

Passo 1

O enunciado pede os autoespaços de A = P\,B\,P^{-1} sem calcular esse produto. Como similaridade preserva autoespaços (geometricamente), se v satisfaz
B\,v=\lambda\,v,
então x = P\,v satisfaz
A\,x = P\,B\,P^{-1}(P\,v) = P\,(B\,v)=P\,(\lambda\,v)=\lambda\,(P\,v)=\lambda\,x.
Logo basta (i) achar os autoespaços de B e (ii) aplicar P a uma base de cada um.

Passo 2

Determinar o autoespaço de B para \lambda=-1. Resolvemos
(B + I)\,v = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \begin{pmatrix} 4 & 1 & -1\\\\ 0 & 0 & 4\\\\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_1\v_2\v_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
Da segunda linha vem 4\,v_3=0\Rightarrow v_3=0. Então da primeira linha
4\,v_1 + v_2 - v_3 = 0 \quad\Longrightarrow\quad v_2 = -4\,v_1.
Logo o autoespaço de B para \lambda=-1 é
E_{-1}(B) = \{\,t\,(1,\,-4,\,0)\mid t\in\mathbb{R}\}.

Passo 3

Determinar o autoespaço de B para \lambda=3. Resolvemos
(B - 3I)\,v = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1\\\\ 0 & -4 & 4\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_1\v_2\v_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
Da primeira linha v_2 - v_3=0\Rightarrow v_2=v_3. A segunda é redundante. Então
v_1\text{ livre},\quad v_3\text{ livre},\quad v_2=v_3,
e uma base para E_{3}(B) é \{(1,0,0),\,(0,1,1)\}.

Passo 4

Agora aplicamos P a essas bases para obter os autoespaços de A.
Para \lambda=-1, tomamos v=(1,-4,0) em E_{-1}(B) e calculamos
P\,v = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 2 & 0 & -1\\\\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\\ -4\\\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3\\\ 2\\\ 5\end{pmatrix}.
Logo
E_{-1}(A) = \{\,t\,(-3,\,2,\,5)\mid t\in\mathbb{R}\}.
Para \lambda=3, aplicamos P aos vetores (1,0,0) e (0,1,1):
P\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} = (1,2,1), \quad P\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1+1\\\ 0-1\\\ -1+1\end{pmatrix}=(2,-1,0).
Assim
E_{3}(A) = \operatorname{span}\{(1,2,1),\,(2,-1,0)\}.

Resposta

E_{-1}(A)={t(-3,2,5)\mid t\in\mathbb{R}}
E_{3}(A)=\operatorname{span}{(1,2,1),,(2,-1,0)}

Exercícios relacionados