Encontre um subconjunto de \{(2,-3,1),(1,4,-2),(-8,12,-4),(1,37,17),(-3,-5,8)\} que seja uma base para o R^{3}.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto \{v_{1}=(2,-3,1),\,v_{2}=(1,4,-2),\,v_{3}=(-8,12,-4),\,v_{4}=(1,37,17),\,v_{5}=(-3,-5,8)\}
e pede um subconjunto que seja base de \mathbb{R}^{3}.
Para ser base, o subconjunto deve ter exatamente 3 vetores e ser linearmente independente (logo gerar todo \mathbb{R}^{3}).

Passo 2

Verificamos dependência de v_{3} em relação a v_{1}:
v_{3} = (-8,12,-4) = -4\,(2,-3,1) = -4\,v_{1}.
Como v_{3} é múltiplo de v_{1}, ele não contribui para a independência. Podemos então descartar v_{3} e ficar com \{v_{1},v_{2},v_{4},v_{5}\}.

Passo 3

Agora testamos a independência de \{v_{1},v_{2},v_{4}\}. Montamos a matriz cujas colunas são esses vetores e calculamos o determinante:
A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1\\\\ -3 & 4 & 37\\\\ 1 & -2 & 17 \end{pmatrix}.
Calculando
\det(A) = 2\,(4\cdot17 - 37\cdot(-2)) - 1\,((-3)\cdot17 - 37\cdot1) + 1\,((-3)\cdot(-2) - 4\cdot1)
= 2\,(68 + 74) - ( -51 - 37) + (6 - 4) = 2\cdot142 + 88 + 2 = 284 + 88 + 2 = 374 \neq 0.
Como o determinante é não nulo, \{v_{1},v_{2},v_{4}\} é um conjunto de três vetores linearmente independentes em \mathbb{R}^3, logo é base.

Resposta

\{(2,-3,1),\,(1,4,-2),\,(1,37,17)\}

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