Encontre um subconjunto de \{(2,-3,1),(1,4,-2),(-8,12,-4),(1,37,17),(-3,-5,8)\} que seja uma base para o R^{3}.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto \{v_{1}=(2,-3,1),\,v_{2}=(1,4,-2),\,v_{3}=(-8,12,-4),\,v_{4}=(1,37,17),\,v_{5}=(-3,-5,8)\}
e pede um subconjunto que seja base de \mathbb{R}^{3}.
Para ser base, o subconjunto deve ter exatamente 3 vetores e ser linearmente independente (logo gerar todo \mathbb{R}^{3}).
Passo 2
Verificamos dependência de v_{3} em relação a v_{1}:
v_{3} = (-8,12,-4) = -4\,(2,-3,1) = -4\,v_{1}.
Como v_{3} é múltiplo de v_{1}, ele não contribui para a independência. Podemos então descartar v_{3} e ficar com \{v_{1},v_{2},v_{4},v_{5}\}.
Passo 3
Agora testamos a independência de \{v_{1},v_{2},v_{4}\}. Montamos a matriz cujas colunas são esses vetores e calculamos o determinante: