e depois “classificar” \mathrm{J}. Aqui vamos usar a definição de multiplicação de matrizes 2\times 2 e, em seguida, ver que tipo especial de matriz é aquela que satisfaz \mathrm{J}^{2}=\mathrm{J}.
Passo 2
Vamos calcular o produto \mathrm{J}^{2}=\mathrm{J}\,\mathrm{J}. Usando a regra de combinação de linhas de \mathrm{J} com colunas de \mathrm{J}, temos
Portanto \mathrm{J} satisfaz \mathrm{J}^{2}=\mathrm{J}, o que significa que é uma matriz idempotente.
Passo 4
Para completar a classificação, note que toda matriz idempotente tem autovalores só 0 ou 1. Como \operatorname{tr}(\mathrm{J})=5+(-4)=1, um autovalor é 1 e o outro é 0, de modo que \det(\mathrm{J})=0. Logo \mathrm{J} é singular, de posto 1, e representa uma projeção não trivial em \mathbb{R}^2.