Dadas as matrizes:
\begin{aligned} & \mathrm{A}=\left[\begin{array}{ll} 0 & 1 \\\\ 1 & 0 \end{array}\right], \mathrm{B}=\left[\begin{array}{cc} \frac{1}{3} & \frac{2 \sqrt{2}}{3} \\\ \frac{2 \sqrt{2}}{3} & -\frac{1}{3} \end{array}\right], \mathrm{C}=\left[\begin{array}{cc} \frac{1}{5} & -\frac{2 \sqrt{6}}{5} \\\ \frac{2 \sqrt{6}}{5} & \frac{1}{5} \end{array}\right], \mathrm{D}=\left[\begin{array}{cc} \operatorname{sen} \theta & -\cos \theta \\\ \cos \theta & -\operatorname{sen} \theta \end{array}\right] \\\ & \mathrm{E}=\left[\begin{array}{ccc} \frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{3}}{3} \\\\ -\frac{\sqrt{6}}{3} & \frac{\sqrt{6}}{6} & \frac{\sqrt{6}}{6} \\\\ 0 & -\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{array}\right], \quad \mathrm{F}=\left[\begin{array}{cc} 6 & 9 \\\\ -4 & -6 \end{array}\right], \quad \mathrm{G}=\left[\begin{array}{cc} 12 & 16 \\\\ -9 & -12 \end{array}\right] \text {, } & \mathrm{H}=\left[\begin{array}{ccc} -\frac{1}{2} & -\frac{5}{2} & 1 \\\\ -\frac{1}{2} & -1 & \frac{1}{2} \\\\ -\frac{3}{2} & -3 & \frac{3}{2} \end{array}\right] & \mathbf{J}=\left[\begin{array}{cc} 5 & 10 \\\\ -2 & -4 \end{array}\right], \mathrm{L}=\left[\begin{array}{cc} 6 & 10 \\\\ -3 & -5 \end{array}\right], \mathrm{M}=\left[\begin{array}{ccc} -1 & 2 & 6 \\\\ 3 & -2 & -9 \\\\ -2 & 0 & 3 \end{array}\right] \end{aligned}
  1. Calcular \mathrm{J}^{2} e classificar a matriz J.

Passo 1

O enunciado pede para calcular \mathrm{J}^{2}, onde
\mathrm{J}=\begin{pmatrix}5 & 10\\\ -2 & -4\end{pmatrix},
e depois “classificar” \mathrm{J}. Aqui vamos usar a definição de multiplicação de matrizes 2\times 2 e, em seguida, ver que tipo especial de matriz é aquela que satisfaz \mathrm{J}^{2}=\mathrm{J}.

Passo 2

Vamos calcular o produto \mathrm{J}^{2}=\mathrm{J}\,\mathrm{J}. Usando a regra de combinação de linhas de \mathrm{J} com colunas de \mathrm{J}, temos
\mathrm{J}^{2} =\begin{pmatrix} 5\cdot5 + 10\cdot(-2) & 5\cdot10 + 10\cdot(-4)\\[6pt] -2\cdot5 + (-4)\cdot(-2) & -2\cdot10 + (-4)\cdot(-4) \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 25 -20 & 50 -40\\[3pt] -10 +8 & -20 +16 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 5 & 10\\\\ -2 & -4 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Observamos que
\mathrm{J}^{2} =\begin{pmatrix}5 & 10\\\ -2 & -4\end{pmatrix} =\mathrm{J}.
Portanto \mathrm{J} satisfaz \mathrm{J}^{2}=\mathrm{J}, o que significa que é uma matriz idempotente.

Passo 4

Para completar a classificação, note que toda matriz idempotente tem autovalores só 0 ou 1. Como \operatorname{tr}(\mathrm{J})=5+(-4)=1, um autovalor é 1 e o outro é 0, de modo que \det(\mathrm{J})=0. Logo \mathrm{J} é singular, de posto 1, e representa uma projeção não trivial em \mathbb{R}^2.

Resposta

\mathrm{J}^{2}=\begin{pmatrix}5 & 10\\\ -2 & -4\end{pmatrix}=\mathrm{J},
e \mathrm{J} é uma matriz idempotente (projeção de posto 1, singular).

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