Dadas as matrizes:
\begin{aligned} & \mathrm{A}=\left[\begin{array}{ll} 0 & 1 \\\\ 1 & 0 \end{array}\right], \mathrm{B}=\left[\begin{array}{cc} \frac{1}{3} & \frac{2 \sqrt{2}}{3} \\\ \frac{2 \sqrt{2}}{3} & -\frac{1}{3} \end{array}\right], \mathrm{C}=\left[\begin{array}{cc} \frac{1}{5} & -\frac{2 \sqrt{6}}{5} \\\ \frac{2 \sqrt{6}}{5} & \frac{1}{5} \end{array}\right], \mathrm{D}=\left[\begin{array}{cc} \operatorname{sen} \theta & -\cos \theta \\\ \cos \theta & -\operatorname{sen} \theta \end{array}\right] \\\ & \mathrm{E}=\left[\begin{array}{ccc} \frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{3}}{3} \\\\ -\frac{\sqrt{6}}{3} & \frac{\sqrt{6}}{6} & \frac{\sqrt{6}}{6} \\\\ 0 & -\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{array}\right], \quad \mathrm{F}=\left[\begin{array}{cc} 6 & 9 \\\\ -4 & -6 \end{array}\right], \quad \mathrm{G}=\left[\begin{array}{cc} 12 & 16 \\\\ -9 & -12 \end{array}\right] \text {, } & \mathrm{H}=\left[\begin{array}{ccc} -\frac{1}{2} & -\frac{5}{2} & 1 \\\\ -\frac{1}{2} & -1 & \frac{1}{2} \\\\ -\frac{3}{2} & -3 & \frac{3}{2} \end{array}\right] & \mathbf{J}=\left[\begin{array}{cc} 5 & 10 \\\\ -2 & -4 \end{array}\right], \mathrm{L}=\left[\begin{array}{cc} 6 & 10 \\\\ -3 & -5 \end{array}\right], \mathrm{M}=\left[\begin{array}{ccc} -1 & 2 & 6 \\\\ 3 & -2 & -9 \\\\ -2 & 0 & 3 \end{array}\right] \end{aligned}
  1. Calcular \mathrm{M}^{3} e classificar a matriz M .

Passo 1

O enunciado pede para calcular \mathrm{M}^3 onde
\mathrm{M} = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 6\\\\ 3 & -2 & -9\\\\ -2 & 0 & 3 \end{pmatrix}
e em seguida “classificar” a matriz, isto é, verificar propriedades como invertibilidade, valores próprios e diagonalizabilidade. Vamos usar multiplicação de matrizes, cálculo de determinante e análise do polinômio mínimo.

Passo 2

Primeiro calculamos \mathrm{M}^2 = \mathrm{M}\,\mathrm{M}. Fazendo produto de linhas de \mathrm{M} por colunas de \mathrm{M} obtemos
\mathrm{M}^2 =\begin{pmatrix} -5 & -6 & -6\\\\ 9 & 10 & 9\\\\ -4 & -4 & -3 \end{pmatrix}.

Passo 3

Agora calculamos \mathrm{M}^3 = \mathrm{M}^2\,\mathrm{M}. Multiplicando
\begin{pmatrix} -5 & -6 & -6\\\\ 9 & 10 & 9\\\\ -4 & -4 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 2 & 6\\\\ 3 & -2 & -9\\\\ -2 & 0 & 3 \end{pmatrix}
vemos que
\mathrm{M}^3 =\begin{pmatrix} -1 & 2 & 6\\\\ 3 & -2 & -9\\\\ -2 & 0 & 3 \end{pmatrix} =\mathrm{M}.
Logo \mathrm{M}^3=\mathrm{M}.

Passo 4

Da relação \mathrm{M}^3-\mathrm{M}=0 segue que \mathrm{M} satisfaz o polinômio
x^3 - x = x\,(x-1)\,(x+1)=0,
de modo que seus valores próprios estão em \{-1,0,1\}. Calculamos também
\det(\mathrm{M})=0,
portanto 0 é autovalor e a matriz é singular. Como todos os fatores (x,\,x-1,\,x+1) são distintos, o polinômio mínimo tem três raízes simples, o que implica que \mathrm{M} é diagonalizável sobre \mathbb{R}. O posto de \mathrm{M} é 2 (nullidade 1).

Resposta

\mathrm{M}^3=\mathrm{M}.
A matriz \mathrm{M} satisfaz o polinômio mínimo x(x-1)(x+1)=0, tem autovalores -1,0,1 todos simples, é singular \det\mathrm{M}=0, \mathrm{rank}(\mathrm{M})=2 e, portanto, é diagonalizável sobre \mathbb{R}.

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