e em seguida “classificar” a matriz, isto é, verificar propriedades como invertibilidade, valores próprios e diagonalizabilidade. Vamos usar multiplicação de matrizes, cálculo de determinante e análise do polinômio mínimo.
Passo 2
Primeiro calculamos \mathrm{M}^2 = \mathrm{M}\,\mathrm{M}. Fazendo produto de linhas de \mathrm{M} por colunas de \mathrm{M} obtemos
Da relação \mathrm{M}^3-\mathrm{M}=0 segue que \mathrm{M} satisfaz o polinômio
x^3 - x = x\,(x-1)\,(x+1)=0,
de modo que seus valores próprios estão em \{-1,0,1\}. Calculamos também
\det(\mathrm{M})=0,
portanto 0 é autovalor e a matriz é singular. Como todos os fatores (x,\,x-1,\,x+1) são distintos, o polinômio mínimo tem três raízes simples, o que implica que \mathrm{M} é diagonalizável sobre \mathbb{R}. O posto de \mathrm{M} é 2 (nullidade 1).
Resposta
\mathrm{M}^3=\mathrm{M}.
A matriz \mathrm{M} satisfaz o polinômio mínimo x(x-1)(x+1)=0, tem autovalores -1,0,1 todos simples, é singular \det\mathrm{M}=0, \mathrm{rank}(\mathrm{M})=2 e, portanto, é diagonalizável sobre \mathbb{R}.