Dada a matriz:
A=\left[\begin{array}{rrrr}-2 & 3 & 1 & -1 \\\\ 0 & 1 & 2 & 3 \\\\ 1 & -1 & 1 & -2 \\\\ 4 & -3 & 5 & 1\end{array}\right]
13) Calcular \operatorname{det} A pelo processo de triangulação

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de \det A para a matriz
A = \begin{pmatrix} -2 & 3 & 1 & -1\\\\ 0 & 1 & 2 & 3\\\\ 1 & -1 & 1 & -2\\\\ 4 & -3 & 5 & 1 \end{pmatrix}
usando triangulação (eliminação de Gauss sem trocar linhas). Para isso, vamos zerar abaixo dos pivôs e, ao final, multiplicar os elementos da diagonal principal.

Passo 2

Aplicamos o pivô \,a_{11}=-2 para zerar os elementos abaixo na coluna 1. Primeiro,
R_3 \leftarrow R_3 + \tfrac12\,R_1
que faz
R_3=(0,\tfrac12,\tfrac32,-\tfrac52).
Em seguida,
R_4 \leftarrow R_4 + 2\,R_1
que faz
R_4=(0,3,7,-1).

Passo 3

Usando o pivô \,a_{22}=1 zeramos abaixo na coluna 2. Primeiro,
R_3 \leftarrow R_3 - \tfrac12\,R_2
que faz
R_3=(0,0,\tfrac12,-4).
Depois,
R_4 \leftarrow R_4 - 3\,R_2
que faz
R_4=(0,0,1,-10).

Passo 4

Com o pivô \,a_{33}=\tfrac12 eliminamos o elemento abaixo:
R_4 \leftarrow R_4 - 2\,R_3
que faz
R_4=(0,0,0,-2).
Agora a matriz está triangular superior com diagonais -2, 1, \tfrac12 e -2.

Passo 5

Como não houve troca de linhas, o determinante é o produto dos pivôs:
\det A = (-2)\times 1 \times \tfrac12 \times (-2) = 2.

Resposta

\det A = 2

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