Dadas as matrizes A=\begin{bmatrix}-1 & 2 & 3\\\\ 1 & -2 & 0\\\\ 0 & 3 & 1\end{bmatrix} e \mathrm{B}=\begin{bmatrix}0 & -2 & 5\\\\ -3 & 1 & 1\\\\ 2 & 3 & 0\end{bmatrix} e sabendo que \mathrm{A} . \mathrm{B}=\mathrm{C}, o termo \mathrm{C}_{23} da matriz C é:
A
0
B
3
C
1
D
7
E
0,4

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes e diz que \mathrm{A}\cdot\mathrm{B}=\mathrm{C}. As matrizes são (peguei estes números do enunciado):
\mathrm{A}=\begin{bmatrix}-1 & 2 & 3\\[4pt] 1 & -2 & 0\\[4pt] 0 & 3 & 1\end{bmatrix}, \qquad \mathrm{B}=\begin{bmatrix}0 & -2 & 5\\[4pt] -3 & 1 & 1\\[4pt] 2 & 3 & 0\end{bmatrix}.
O que o enunciado pede: encontrar o termo \mathrm{C}_{23} da matriz \mathrm{C} (ou seja, o elemento da segunda linha e terceira coluna de \mathrm{C}).]

Passo 2

Regra geral (a fórmula que vamos usar): o produto de matrizes \mathrm{C}=\mathrm{A}\cdot\mathrm{B} tem entradas dadas por
\mathrm{C}_{ij}=\sum_{k=1}^{3}\mathrm{A}_{ik}\,\mathrm{B}_{kj}.
Explicando bem devagar: \mathrm{C}_{ij} é o elemento na linha i e coluna j de \mathrm{C}. Para calculá-lo, pega-se a linha i de \mathrm{A} e a coluna j de \mathrm{B}, multiplica-se termo a termo e soma-se os produtos. O índice k corre pelas colunas de \mathrm{A} (ou linhas de \mathrm{B}), aqui de 1 a 3.

Passo 3

Aplicando à nossa pergunta: queremos \mathrm{C}_{23}, então i=2 e j=3. Pela fórmula:
\mathrm{C}_{23}=\mathrm{A}_{21}\mathrm{B}_{13}+\mathrm{A}_{22}\mathrm{B}_{23}+\mathrm{A}_{23}\mathrm{B}_{33}.
Isto significa: pega-se a segunda linha de \mathrm{A} e a terceira coluna de \mathrm{B}.

Passo 4

Vou escrever explicitamente a segunda linha de \mathrm{A} (peguei da matriz \mathrm{A} dada) e a terceira coluna de \mathrm{B} (peguei da matriz \mathrm{B} dada):
\text{linha 2 de }\mathrm{A}=\begin{bmatrix}\mathrm{A}_{21} & \mathrm{A}_{22} & \mathrm{A}_{23}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & -2 & 0\end{bmatrix},
\text{coluna 3 de }\mathrm{B}=\begin{bmatrix}\mathrm{B}_{13}\\[4pt]\mathrm{B}_{23}\\[4pt]\mathrm{B}_{33}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5\\[4pt]1\\[4pt]0\end{bmatrix}.]

Passo 5

Agora calculamos os produtos termo a termo (mostrando cada conta):
\mathrm{A}_{21}\mathrm{B}_{13}=1\cdot 5 = 5,
\mathrm{A}_{22}\mathrm{B}_{23}=(-2)\cdot 1 = -2,
\mathrm{A}_{23}\mathrm{B}_{33}=0\cdot 0 = 0.

Passo 6

Somando os produtos:
\mathrm{C}_{23}=5 + (-2) + 0 = 3.
Portanto o elemento da segunda linha, terceira coluna de \mathrm{C} é 3. Isso corresponde à alternativa B.

Resposta

3

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