Dadas as matrizes \boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 1 & 0\end{array}\right], \boldsymbol{E}=\left[\begin{array}{rrr}\frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{3}}{3} \\\\ -\frac{\sqrt{6}}{3} & \frac{\sqrt{6}}{6} & \frac{\sqrt{6}}{6} \\\\ 0 & -\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right], \boldsymbol{F}=\left[\begin{array}{rr}6 & 9 \\\\ -4 & -6\end{array}\right], \boldsymbol{H}=\left[\begin{array}{lll}-\frac{1}{2} & -\frac{5}{2} & 1 \\\\ -\frac{1}{2} & -1 & \frac{1}{2} \\\\ -\frac{3}{2} & -3 & \frac{3}{2}\end{array}\right] e \boldsymbol{J}=\left[\begin{array}{rr}5 & 10 \\\\ -2 & -4\end{array}\right] :
Calcular \boldsymbol{F}^{\mathbf{2}} e classificar a matriz \boldsymbol{F}.

Passo 1

O enunciado fornece a matriz
\boldsymbol{F} = \begin{pmatrix}6 & 9\\\\ -4 & -6\end{pmatrix}
e pede (i) o quadrado \boldsymbol{F}^2 e (ii) a classificação de \boldsymbol{F}. Para isso precisamos usar a definição de multiplicação de matrizes 2\times 2 e depois analisar determinante, autovalores e propriedade de nilpotência.

Passo 2

Vamos calcular \boldsymbol{F}^2 = \boldsymbol{F}\,\boldsymbol{F} pela regra de multiplicação:
\boldsymbol{F}^2 = \begin{pmatrix}6 & 9\\\\ -4 & -6\end{pmatrix} \begin{pmatrix}6 & 9\\\\ -4 & -6\end{pmatrix}.
Os elementos ficam:
(\boldsymbol{F}^2)_{11}=6\cdot6 + 9\cdot(-4)=36 -36=0,
(\boldsymbol{F}^2)_{12}=6\cdot9 + 9\cdot(-6)=54 -54=0,
(\boldsymbol{F}^2)_{21}=-4\cdot6 + (-6)\cdot(-4)=-24 +24=0,
(\boldsymbol{F}^2)_{22}=-4\cdot9 + (-6)\cdot(-6)=-36 +36=0.
Portanto,
\boldsymbol{F}^2 = \begin{pmatrix}0 & 0\\\\ 0 & 0\end{pmatrix}.

Passo 3

Para classificar \boldsymbol{F}, examinamos:
  1. Determinante:
\det(\boldsymbol{F}) = 6\cdot(-6) - 9\cdot(-4) = -36 +36 = 0,
logo \boldsymbol{F} é singular (não invertível).
2. Autovalores: a soma é \mathrm{tr}(\boldsymbol{F})=6+(-6)=0 e o produto é \det(\boldsymbol{F})=0, de modo que ambos os autovalores são zero.
3. Nilpotência: como \boldsymbol{F}^2=\boldsymbol{0} mas \boldsymbol{F}\neq\boldsymbol{0}, \boldsymbol{F} é nilpotente de índice 2. Em consequência não é diagonalizável (só tem autovalor 0 com uma só cadeia de Jordan de tamanho 2).

Resposta

\boldsymbol{F}^2 = \begin{pmatrix}0 & 0\\\\ 0 & 0\end{pmatrix}.
A matriz \boldsymbol{F} é singular, nilpotente de ordem 2 (não invertível e não diagonalizável).

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