e pede (i) o quadrado \boldsymbol{F}^2 e (ii) a classificação de \boldsymbol{F}. Para isso precisamos usar a definição de multiplicação de matrizes 2\times 2 e depois analisar determinante, autovalores e propriedade de nilpotência.
Passo 2
Vamos calcular \boldsymbol{F}^2 = \boldsymbol{F}\,\boldsymbol{F} pela regra de multiplicação:
logo \boldsymbol{F} é singular (não invertível).
2. Autovalores: a soma é \mathrm{tr}(\boldsymbol{F})=6+(-6)=0 e o produto é \det(\boldsymbol{F})=0, de modo que ambos os autovalores são zero.
3. Nilpotência: como \boldsymbol{F}^2=\boldsymbol{0} mas \boldsymbol{F}\neq\boldsymbol{0}, \boldsymbol{F} é nilpotente de índice 2. Em consequência não é diagonalizável (só tem autovalor 0 com uma só cadeia de Jordan de tamanho 2).
Resposta
\boldsymbol{F}^2 = \begin{pmatrix}0 & 0\\\\ 0 & 0\end{pmatrix}.
A matriz \boldsymbol{F} é singular, nilpotente de ordem 2 (não invertível e não diagonalizável).