Dadas as matrizes boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{rr}1 & -2 \\\\ 3 & 1 \\\\ 7 & -4 \\\\ 5 & 9\end{array}\right], \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{llll}1 & 3 & -5 & 7 \\\\ 6 & 2 & -8 & 6\end{array}\right] e \boldsymbol{C}=\left[\begin{array}{rrrr}1 & 7 & 3 & -8 \\\\ -3 & -1 & -1 & -3 \\\\ 4 & 1 & 9 & 0 \\\\ 5 & 3 & 2 & -3\end{array}\right]
Calcular (\boldsymbol{A B}) \boldsymbol{C}.

Passo 1

Resumindo o enunciado, queremos calcular o produto
(AB)C
sendo
A\in\mathbb{R}^{4\times2},\quad B\in\mathbb{R}^{2\times4},\quad C\in\mathbb{R}^{4\times4}.
Para isso usamos a definição de multiplicação de matrizes:
(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{2}A_{ik}B_{kj},
depois
\bigl((AB)C\bigr)_{ij}=\sum_{k=1}^{4}(AB)_{ik}C_{kj}.
Primeiro vamos achar AB, depois multiplicamos o resultado por C.

Passo 2

Calcular AB usando (AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{2}A_{ik}B_{kj}. Os cálculos linha a linha dão:
AB=\begin{bmatrix} -11 & -1 & 11 & -5\\\\ 9 & 11 & -23 & 27\\\\ -17 & 13 & -3 & 25\\\\ 59 & 33 & -97 & 89 \end{bmatrix}.

Passo 3

Agora calculamos (AB)C com
\bigl((AB)C\bigr)_{ij}=\sum_{k=1}^{4}(AB)_{ik}C_{kj}.
Fazendo a soma para cada entrada obtemos:
(AB)C=\begin{bmatrix} 11 & -80 & 57 & 106\\\\ 19 & 110 & -137 & -186\\\\ 57 & -60 & -41 & 22\\\\ 17 & 550 & -551 & -838 \end{bmatrix}.

Resposta

(AB)C=\begin{bmatrix} 11 & -80 & 57 & 106\\\\ 19 & 110 & -137 & -186\\\\ 57 & -60 & -41 & 22\\\\ 17 & 550 & -551 & -838 \end{bmatrix}.

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