Dadas as matrizes boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{rr}1 & -2 \\\\ 3 & 1 \\\\ 7 & -4 \\\\ 5 & 9\end{array}\right], \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{llll}1 & 3 & -5 & 7 \\\\ 6 & 2 & -8 & 6\end{array}\right] e \boldsymbol{C}=\left[\begin{array}{rrrr}1 & 7 & 3 & -8 \\\\ -3 & -1 & -1 & -3 \\\\ 4 & 1 & 9 & 0 \\\\ 5 & 3 & 2 & -3\end{array}\right]
Calcular \boldsymbol{A}(\boldsymbol{B} \boldsymbol{C})

Passo 1

O enunciado pede para calcular \boldsymbol{A}(\boldsymbol{B}\,\boldsymbol{C}). Aqui usamos a associatividade da multiplicação de matrizes para primeiro computar \boldsymbol{B}\boldsymbol{C} e depois multiplicar o resultado à esquerda por \boldsymbol{A}. As dimensões são compatíveis: \boldsymbol{B} é 2\times4, \boldsymbol{C} é 4\times4, então \boldsymbol{B}\boldsymbol{C} será 2\times4; em seguida \boldsymbol{A} é 4\times2, e multiplicando 4\times2 por 2\times4 obtemos uma matriz 4\times4.

Passo 2

Vamos chamar \boldsymbol{D}=\boldsymbol{B}\boldsymbol{C}. Cada entrada D_{ij} é
D_{ij}=\sum_{k=1}^{4}B_{ik}\,C_{kj}.
Fazendo as contas linha a linha, coluna a coluna, chega-se a
\boldsymbol{D} =\boldsymbol{B}\,\boldsymbol{C} =\left[\begin{array}{rrrr} 7 & 20 & -31 & -38\\\\ -2 & 50 & -44 & -72 \end{array}\right].

Passo 3

Agora calculamos \boldsymbol{E}=\boldsymbol{A}\,\boldsymbol{D}. Para cada E_{ij} temos
E_{ij}=\sum_{k=1}^{2}A_{ik}\,D_{kj}.
Multiplicando as quatro linhas de \boldsymbol{A} pelas quatro colunas de \boldsymbol{D}, obtemos
\boldsymbol{E} =\boldsymbol{A}\,(\boldsymbol{B}\boldsymbol{C}) =\left[\begin{array}{rrrr} 11 & -80 & 57 & 106\\\\ 19 & 110 & -137 & -186\\\\ 57 & -60 & -41 & 22\\\\ 17 & 550 & -551 & -838 \end{array}\right].

Resposta

\boldsymbol{A}(\boldsymbol{B}\boldsymbol{C}) =\left[\begin{array}{rrrr} 11 & -80 & 57 & 106\\\\ 19 & 110 & -137 & -186\\\\ 57 & -60 & -41 & 22\\\\ 17 & 550 & -551 & -838 \end{array}\right].

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