Dadas as matrizes A=\left(\begin{array}{ccc}2 & 3 & 8 \\\\ 4 & -1 & -6\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ccc}5 & -7 & -9 \\\\ 0 & 4 & 1\end{array}\right) e C=\left(\begin{array}{lll}0 & 9 & 8 \\\\ 1 & 4 & 6\end{array}\right), calcule, se existir:
A \cdot B^{t}

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
A=\begin{pmatrix}2 & 3 & 8 \\[4pt] 4 & -1 & -6\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}5 & -7 & -9 \\[4pt] 0 & 4 & 1\end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix}0 & 9 & 8 \\[4pt] 1 & 4 & 6\end{pmatrix}
e pede para calcular, se existir, A\cdot B^{t}.
Informações relevantes fornecidas:
  • As matrizes A, B e C são todas de dimensão 2\times3.
  • A operação pedida é a multiplicação de A pela transposta de B, ou seja, calcular A\cdot B^{t}.
  • Note que só serão necessárias as matrizes A e B para essa operação; a matriz C não entra na conta.]

Passo 2

O que significa B^{t} (a transposta de B)?
Definição: a transposta de uma matriz troca linhas por colunas. Se B=(b_{ij}), então B^{t}=(b^{t}_{ij}) com b^{t}_{ij}=b_{ji}.
Aplicando isso a B, trocando linhas por colunas, obtemos
B^{t}=\begin{pmatrix}5 & 0 \\[4pt] -7 & 4 \\[4pt] -9 & 1\end{pmatrix}.
Aqui cada entrada de B^{t} foi obtida diretamente dos elementos de B: por exemplo, b^{t}_{12}=b_{21}=0.]

Passo 3

Verificação de dimensões e existência do produto:
  • A é de dimensão 2\times3 (duas linhas, três colunas).
  • B^{t} é de dimensão 3\times2 (três linhas, duas colunas).
Regra de existência do produto matricial: o produto A\cdot B^{t} existe se o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B^{t}. Aqui ambos valem 3, então o produto existe. O resultado terá dimensão 2\times2 (linhas de A por colunas de B^{t}).

Passo 4

Fórmula para calcular os elementos do produto:
Se D=A\cdot B^{t} e D=(d_{ij}), então
d_{ij}=\sum_{k=1}^{3} a_{ik}\,b^{t}_{kj},
ou, usando b^{t}_{kj}=b_{jk},
d_{ij}=\sum_{k=1}^{3} a_{ik}\,b_{jk}.
Interpretação prática: cada elemento d_{ij} é o produto escalar (dot product) entre a i-ésima linha de A e a j-ésima linha de B (porque as colunas de B^{t} são as linhas de B).
Vamos calcular cada elemento do resultado usando essa fórmula.

Passo 5

Cálculo de d_{11} (primeira linha, primeira coluna):
d_{11} = a_{11}b^{t}_{11}+a_{12}b^{t}_{21}+a_{13}b^{t}_{31}.
Substituindo os valores ( a_{11}=2, a_{12}=3, a_{13}=8 e a primeira coluna de B^{t} é (5,-7,-9)):
d_{11}=2\cdot 5 + 3\cdot(-7) + 8\cdot(-9).
Calculando passo a passo:
2\cdot 5=10,\qquad 3\cdot(-7)=-21,\qquad 8\cdot(-9)=-72,
d_{11}=10-21-72=-83.

Passo 6

Cálculo de d_{12} (primeira linha, segunda coluna):
d_{12} = a_{11}b^{t}_{12}+a_{12}b^{t}_{22}+a_{13}b^{t}_{32}.
A segunda coluna de B^{t} é (0,4,1). Substituindo:
d_{12}=2\cdot 0 + 3\cdot 4 + 8\cdot 1.
Calculando:
2\cdot 0=0,\qquad 3\cdot 4=12,\qquad 8\cdot 1=8,
d_{12}=0+12+8=20.

Passo 7

Cálculo de d_{21} (segunda linha, primeira coluna):
d_{21} = a_{21}b^{t}_{11}+a_{22}b^{t}_{21}+a_{23}b^{t}_{31}.
Usando a segunda linha de A: (4,-1,-6) e primeira coluna de B^{t}: (5,-7,-9),
d_{21}=4\cdot 5 + (-1)\cdot(-7) + (-6)\cdot(-9).
Calculando:
4\cdot 5=20,\qquad (-1)\cdot(-7)=7,\qquad (-6)\cdot(-9)=54,
d_{21}=20+7+54=81.

Passo 8

Cálculo de d_{22} (segunda linha, segunda coluna):
d_{22} = a_{21}b^{t}_{12}+a_{22}b^{t}_{22}+a_{23}b^{t}_{32}.
Segunda linha de A: (4,-1,-6) e segunda coluna de B^{t}: (0,4,1),
d_{22}=4\cdot 0 + (-1)\cdot 4 + (-6)\cdot 1.
Calculando:
4\cdot 0=0,\qquad (-1)\cdot 4=-4,\qquad (-6)\cdot 1=-6,
d_{22}=0-4-6=-10.

Resposta

A\cdot B^{t}=\begin{pmatrix}-83 & 20 \\[4pt] 81 & -10\end{pmatrix}]

Exercícios relacionados