Dadas as matrizes A=\left[a_{i j}\right]_{2 \times 2^{\prime}} tal que a_{i j}=\left\{\begin{aligned} i+j, & \text { se } i=j \\\\ 0, & \text { se } i \neq j\end{aligned}\right. e B=\left[b_{i j}\right]_{2 \times 2^{\prime}}, tal que b_{i j}=2 i-3 j, então A+B é igual a:
(a) \left[\begin{array}{rr}-1 & 4 \\\\ -1 & -2\end{array}\right]
(b) \left[\begin{array}{rr}1 & -4 \\\\ -1 & -2\end{array}\right]
(c) \left[\begin{array}{rr}-1 & 4 \\\\ 1 & 2\end{array}\right]
(d) \left[\begin{array}{rr}1 & -4 \\\\ 1 & 2\end{array}\right]
(e) \left[\begin{array}{ll}1 & 4 \\\\ 1 & 2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado define duas matrizes A=[a_{ij}]\) e \(B=[b_{ij}]\), ambas de ordem \(2\times2\). Para montar \(A\) vamos usar que \[a_{ij} = \begin{cases} i+j, & \text{se }i=j,\\\\ 0, & \text{se }i\neq j \end{cases}
e para B\] usamos a regra \[b_{ij} = 2i - 3j.\] O objetivo é calcular \(A+B por soma componente a componente.

Passo 2

Construindo A, observamos que apenas os elementos diagonais são não nulos:
a_{11} = 1+1 = 2,\quad a_{22} = 2+2 = 4,
enquanto
a_{12} = a_{21} = 0.
Logo
A = \begin{pmatrix} 2 & 0\\\\ 0 & 4 \end{pmatrix}.

Passo 3

Agora calculamos os coeficientes de B usando b_{ij}=2i-3j:
b_{11} = 2\cdot1 - 3\cdot1 = -1,\quad b_{12} = 2\cdot1 - 3\cdot2 = -4,
b_{21} = 2\cdot2 - 3\cdot1 = 1,\quad b_{22} = 2\cdot2 - 3\cdot2 = -2.
Portanto
B = \begin{pmatrix} -1 & -4\\\\ 1 & -2 \end{pmatrix}.

Passo 4

Somamos A e B componente a componente:
A+B = \begin{pmatrix} 2+(-1) & 0+(-4)\\\\ 0+1 & 4+(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -4\\\\ 1 & 2 \end{pmatrix}.

Passo 5

Comparando com as opções dadas, a matriz obtida coincide com a alternativa (d).

Resposta

(d) \displaystyle \begin{pmatrix}1 & -4\\\ 1 & 2\end{pmatrix}

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