Dadas as matrizes A=\left[\begin{array}{rrrr}1 & -5 & -1 & 2 \\\\ 0 & 2 & -3 & 4 \\\\ 0 & 0 & 4 & -2 \\\\ 0 & 0 & 0 & 3\end{array}\right] e B=\left[\begin{array}{rrrr}-3 & 0 & 0 & 0 \\\\ 3 & -4 & 0 & 0 \\\\ 2 & 2 & -1 & 0 \\\\ 2 & 1 & 1 & -2\end{array}\right], determine:
(a) \operatorname{det}(A B);
(b) A^{-1};
(c) B^{-1};
(d) (B A)^{-1};
(e) \operatorname{det}\text{(C)}, onde C A^{T}=2 B C^{2}.

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes quadradas 4\times4, sendo A triangular superior e B triangular inferior, e pede:
(a) \det(AB), (b) A^{-1}, (c) B^{-1}, (d) (BA)^{-1} e (e) o valor de \det\text{(C)} sabendo que
C\,A^{T}=2\,B\,C^{2}.
Os conteúdos usados serão:
– para determinantes de matrizes triangulares, o produto dos elementos da diagonal;
– inversa de matriz triangular por substituição;
\det(AB)=\det(A)\det(B) e (BA)^{-1}=A^{-1}B^{-1};
– uso da propriedade \det(MN)=\det(M)\det(N) para obter uma equação em \det\text{(C)}.

Passo 2

Calcular \det(A) e \det(B). Como A é triangular superior,
\det(A)=1\cdot2\cdot4\cdot3=24.
Como B é triangular inferior,
\det(B)=(-3)\cdot(-4)\cdot(-1)\cdot(-2)=24.
Logo,
\det(AB)=\det(A)\,\det(B)=24\cdot24=576.

Passo 3

Determinar A^{-1}. Como A é triangular superior, resolvemos A\,X=I coluna a coluna por retro-substituição. O resultado é a matriz triangular superior
A^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & \tfrac{5}{2} & \tfrac{17}{8} & -\tfrac{31}{12}\\\\ 0 & \tfrac12 & \tfrac38 & -\tfrac{5}{12}\\\\ 0 & 0 & \tfrac14 & \tfrac16\\\\ 0 & 0 & 0 & \tfrac13 \end{pmatrix}.

Passo 4

Determinar B^{-1}. Como B é triangular inferior, resolvemos B\,Y=I por substituição direta. O resultado é
B^{-1}=\begin{pmatrix} -\tfrac13 & 0 & 0 & 0\\\\ -\tfrac14 & -\tfrac14& 0 & 0\\\\ -\tfrac76 & -\tfrac12& -1 & 0\\\\ -\tfrac{25}{24}& -\tfrac38& -\tfrac12& -\tfrac12 \end{pmatrix}.

Passo 5

Usamos a propriedade de inversa de produto:
(BA)^{-1}=A^{-1}B^{-1}.

Passo 6

Para (e), aplicamos determinante na equação C\,A^{T}=2\,B\,C^{2}. Como \det(A^{T})=\det(A)=24 e \det(2B)=2^{4}\det(B)=16\cdot24=384, obtemos
\det\text{(C)}\,\det(A^{T}) =\det(2B)\,\det(C^{2}) \;\Longrightarrow\; \det\text{(C)}\cdot24=384\cdot[\det\text{(C)}]^{2}.
Divide-se por 24:
\det\text{(C)}=16\,[\det\text{(C)}]^{2} \;\Longrightarrow\; \det\text{(C)}\bigl(16\,\det\text{(C)}-1\bigr)=0 \;\Longrightarrow\; \det\text{(C)}=0\quad\text{ou}\quad\det\text{(C)}=\tfrac1{16}.
Se exigir C inversível, então \det\text{(C)}=\tfrac1{16}.

Resposta

(a) \;576
(b) \;A^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & \tfrac{5}{2} & \tfrac{17}{8} & -\tfrac{31}{12}\\\\ 0 & \tfrac12 & \tfrac38 & -\tfrac{5}{12}\\\\ 0 & 0 & \tfrac14 & \tfrac16\\\\ 0 & 0 & 0 & \tfrac13 \end{pmatrix}
(c) \;B^{-1}=\begin{pmatrix} -\tfrac13 & 0 & 0 & 0\\\\ -\tfrac14 & -\tfrac14& 0 & 0\\\\ -\tfrac76 & -\tfrac12& -1 & 0\\\\ -\tfrac{25}{24}& -\tfrac38& -\tfrac12& -\tfrac12 \end{pmatrix}
(d) \;(BA)^{-1}=A^{-1}B^{-1}.
(e) \;\det\text{(C)}=0 ou \det\text{(C)}=\tfrac1{16} (se C inversível então \det\text{(C)}=\tfrac1{16}).

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