Dada a matriz A=\left[\begin{array}{rrrr}1 & 5 & -1 & 3 \\\\ -1 & 2 & -2 & 4 \\\\ 6 & 7 & 3 & -1 \\\\ 5 & 3 & 0 & 4\end{array}\right], determine:
(a) \operatorname{det} A utilizando as operações elementares sobre as linhas de A;
(b) \operatorname{det} A^{T};
(c) \operatorname{det}\left(A^{2}\right);
(d) A^{-1};

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix} 1 & 5 & -1 & 3\\\\ -1 & 2 & -2 & 4\\\\ 6 & 7 & 3 & -1\\\\ 5 & 3 & 0 & 4 \end{pmatrix}
e pede
(a) \det A por operações elementares nas linhas,
(b) \det A^T,
(c) \det(A^2),
(d) A^{-1}.
O conteúdo aqui é cálculo de determinante via eliminação de Gauss e inversão de matriz por Gauss–Jordan.

Passo 2

Aplicamos eliminação de Gauss em A sem trocar linhas (logo o sinal do determinante não muda).
  1. Zeramos abaixo de a_{11}=1:
    R_{2} R_{2}+ R_{1}, R_{3} R_{3}−6 R_{1}, R_{4} R_{4}−5 R_{1}.
  2. Zeramos abaixo de a_{22}'=7:
    R_{3} R_{3}+(\tfrac{23}{7}) R_{2},\quad R_{4} R_{4}+(\tfrac{22}{7}) R_{2}.
  3. Zeramos abaixo de a_{33}''=-\tfrac{6}{7}:
    R_{4} R_{4}−\bigl(\tfrac{-31/7}{-6/7}\bigr) R_{3}.
    O sistema triangular fica
\begin{pmatrix} 1 & * & * & *\\\\ 0 & 7 & * & *\\\\ 0 & 0 & -\tfrac{6}{7} & *\\\\ 0 & 0 & 0 & -\tfrac{29}{3} \end{pmatrix}.
O determinante é o produto dos pivôs:
\det A = 1\cdot 7\cdot\Bigl(-\tfrac{6}{7}\Bigr)\cdot\Bigl(-\tfrac{29}{3}\Bigr) =58.

Passo 3

Por propriedades de determinantes temos
\det A^T = \det A = 58,
\det(A^2) = (\det A)^2 = 58^2 = 3364.

Passo 4

Para achar A^{-1} montamos \bigl[A\mid I\bigr] e aplicamos Gauss–Jordan. Após eliminação completa obtemos a forma reduzida \bigl[I\mid A^{-1}\bigr]. O resultado é
A^{-1} = \frac{1}{58} \begin{pmatrix} 50 & -64 & -26 & 20\\\\ 14 & -4 & 2 & -6\\\\ -157 & 165 & 77 & -28\\\\ -73 & 83 & 31 & -6 \end{pmatrix}.

Resposta

(a) \det A = 58.
(b) \det A^T = 58.
(c) \det(A^2) = 3364.
(d)
A^{-1} = \frac{1}{58} \begin{pmatrix} 50 & -64 & -26 & 20\\\\ 14 & -4 & 2 & -6\\\\ -157 & 165 & 77 & -28\\\\ -73 & 83 & 31 & -6 \end{pmatrix}.

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