e pede
(a) \det A por operações elementares nas linhas,
(b) \det A^T,
(c) \det(A^2),
(d) A^{-1}.
O conteúdo aqui é cálculo de determinante via eliminação de Gauss e inversão de matriz por Gauss–Jordan.
Passo 2
Aplicamos eliminação de Gauss em A sem trocar linhas (logo o sinal do determinante não muda).
Zeramos abaixo de a_{11}=1: R_{2}←R_{2}+R_{1}, R_{3}←R_{3}−6R_{1}, R_{4}←R_{4}−5R_{1}.
Zeramos abaixo de a_{22}'=7: R_{3}←R_{3}+(\tfrac{23}{7})R_{2},\quad R_{4}←R_{4}+(\tfrac{22}{7})R_{2}.
Zeramos abaixo de a_{33}''=-\tfrac{6}{7}: R_{4}←R_{4}−\bigl(\tfrac{-31/7}{-6/7}\bigr)R_{3}.
O sistema triangular fica
\det A = 1\cdot 7\cdot\Bigl(-\tfrac{6}{7}\Bigr)\cdot\Bigl(-\tfrac{29}{3}\Bigr) =58.
Passo 3
Por propriedades de determinantes temos
\det A^T = \det A = 58,
\det(A^2) = (\det A)^2 = 58^2 = 3364.
Passo 4
Para achar A^{-1} montamos \bigl[A\mid I\bigr] e aplicamos Gauss–Jordan. Após eliminação completa obtemos a forma reduzida \bigl[I\mid A^{-1}\bigr]. O resultado é