e pede para calcular o determinante \det(2A).
Informações relevantes que temos: a matriz A está explicitada elemento a elemento; A é 3\times 3. A operação pedida é tomar a matriz 2A (multiplicar todos os elementos de A por 2) e calcular o determinante dessa nova matriz.]
Passo 2
Conceito essencial (explicação didática): propriedade de escala do determinante.
Se você multiplica uma única linha (ou coluna) de uma matriz por um escalar c, o determinante da matriz é multiplicado por c. Ou seja, se A' é igual a A com a linha i multiplicada por c, então \det(A') = c\det(A). Isso vem do fato de que o determinante é linear em cada linha (manter as outras linhas fixas).
Se multiplicamos TODAS as linhas de uma matriz n\times n por c, então extraímos um fator c de cada linha, totalizando c^n. Portanto, para uma matriz n\times n vale a fórmula geral
\det(cA)=c^{n}\det(A).
No nosso caso n=3, logo
\det(2A)=2^{3}\det(A)=8\det(A).
Explicação em palavras: multiplicar a matriz inteira por 2 equivale a multiplicar cada linha por 2; isso multiplica o determinante por 2 três vezes, dando 2^3.
Passo 3
Agora precisamos calcular \det(A). Vou usar a regra de Sarrus (prática para 3\times 3), que diz: