Dadas as matrizes A e B, quadradas de ordem 3 :
A=\left[\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 0 \\\\ -1 & 3 & 4 \\\\ 1 & 2 & 1 \end{array}\right] \quad \text { e } \quad B=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2 \\\\ 3 & -2 & 1 \\\\ 0 & 1 & 1 \end{array}\right]
Calcule os seguintes determinantes:
\operatorname{det}(2 A)

Passo 1

O enunciado dá as matrizes quadradas de ordem 3
A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\[4pt] -1 & 3 & 4\\[4pt] 1 & 2 & 1 \end{pmatrix} \quad\text{e}\quad B=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2\\[4pt] 3 & -2 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}
e pede para calcular o determinante \det(2A).
Informações relevantes que temos: a matriz A está explicitada elemento a elemento; A é 3\times 3. A operação pedida é tomar a matriz 2A (multiplicar todos os elementos de A por 2) e calcular o determinante dessa nova matriz.]

Passo 2

Conceito essencial (explicação didática): propriedade de escala do determinante.
  • Se você multiplica uma única linha (ou coluna) de uma matriz por um escalar c, o determinante da matriz é multiplicado por c. Ou seja, se A' é igual a A com a linha i multiplicada por c, então \det(A') = c\det(A). Isso vem do fato de que o determinante é linear em cada linha (manter as outras linhas fixas).
  • Se multiplicamos TODAS as linhas de uma matriz n\times n por c, então extraímos um fator c de cada linha, totalizando c^n. Portanto, para uma matriz n\times n vale a fórmula geral
\det(cA)=c^{n}\det(A).
No nosso caso n=3, logo
\det(2A)=2^{3}\det(A)=8\det(A).
Explicação em palavras: multiplicar a matriz inteira por 2 equivale a multiplicar cada linha por 2; isso multiplica o determinante por 2 três vezes, dando 2^3.

Passo 3

Agora precisamos calcular \det(A). Vou usar a regra de Sarrus (prática para 3\times 3), que diz:
\det(A)=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32} -\big(a_{13}a_{22}a_{31}+a_{11}a_{23}a_{32}+a_{12}a_{21}a_{33}\big).
Aqui os elementos de A são (copiando da matriz):
a_{11}=2,\; a_{12}=1,\; a_{13}=0,\; a_{21}=-1,\; a_{22}=3,\; a_{23}=4,\; a_{31}=1,\; a_{32}=2,\; a_{33}=1.

Passo 4

Calculemos os termos positivos da regra de Sarrus:
a_{11}a_{22}a_{33}=2\cdot 3\cdot 1=6,
a_{12}a_{23}a_{31}=1\cdot 4\cdot 1=4,
a_{13}a_{21}a_{32}=0\cdot(-1)\cdot 2=0.
Soma dos positivos:
6+4+0=10.

Passo 5

Agora os termos negativos:
a_{13}a_{22}a_{31}=0\cdot 3\cdot 1=0,
a_{11}a_{23}a_{32}=2\cdot 4\cdot 2=16,
a_{12}a_{21}a_{33}=1\cdot(-1)\cdot 1=-1.
Soma dos negativos:
0+16+(-1)=15.

Passo 6

Agora o determinante de A é a diferença entre soma dos positivos e soma dos negativos:
\det(A)=10-15=-5.
(Interpretação rápida: o volume orientado dado por A é -5.)

Passo 7

Voltando à propriedade de escala (Passo 2), temos
\det(2A)=2^{3}\det(A)=8\det(A).
Substituindo \det(A)=-5 obtemos
\det(2A)=8\cdot(-5).

Passo 8

Efectuando a multiplicação:
8\cdot(-5)=-40.

Resposta

-40

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