Use o comando de frações parciais em seu CAS para encontrar uma expressão conveniente para a soma parcial; então utilize essa expressão para encontrar a soma da série. Verifique sua resposta usando o CAS para somar a série diretamente. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}+3 n+1}{\left(n^{2}+n\right)^{2}}
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a soma da série infinita
O enunciado também orienta a usar decomposição em frações parciais para obter uma expressão conveniente para a soma parcial e, em seguida, obter a soma da série. Depois pede verificar com um CAS.
Passo 2
Vamos decompor o termo geral em frações parciais. A forma natural, porque o denominador é n^{2}(n+1)^{2}\), é
\[\frac{n^{2}+3 n+1}{n^{2}(n+1)^{2}}=\frac{A}{n}+\frac{B}{n^{2}}+\frac{C}{n+1}+\frac{D}{(n+1)^{2}}.
Explicando por que: cada fator linear ou quadrado do denominador gera termos correspondentes; incluímos 1/n e 1/n^2 por causa de n^2 e análogamente para n+1.
Multiplicamos ambos os lados por n^{2}(n+1)^{2} para obter uma identidade polinomial:
Breve aula sobre os passos essenciais (para você levar para a prova, tipo receita prática):
Observação do denominador: escreva sempre n^{2}+n=n(n+1). Quando aparece (n(n+1))^{2}, pense em termos \frac{A}{n}+\frac{B}{n^{2}}+\frac{C}{n+1}+\frac{D}{(n+1)^{2}}.
Multiplique por todo o denominador comum e iguale coeficientes de potências de n. Isso é um sistema linear simples para resolver A,B,C,D.
Depois de decompor, separe somas do tipo \sum (\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}) ou \sum(\frac{1}{n^{2}}-\frac{1}{(n+1)^{2}}) — essas telescopam: praticamente tudo cancela, sobrando apenas as fronteiras (primeiro e último termos).
Sempre calcule a soma parcial S_N para ver o termo que vai a zero quando N\to\infty.
Exemplo curto extra: a soma \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right) tem soma 1 porque a soma parcial é 1-\frac{1}{N+1} e o limite é 1.
Você conseguiu! Mesmo desesperado dá pra fazer assim passo a passo. Confie que decomposição + telescoping é um truque poderoso para séries racionais.
Passo 5
Verificação usando um CAS (comandos que você pode colar):