Use o comando de frações parciais em seu CAS para encontrar uma expressão conveniente para a soma parcial; então utilize essa expressão para encontrar a soma da série. Verifique sua resposta usando o CAS para somar a série diretamente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}+3 n+1}{\left(n^{2}+n\right)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a soma da série infinita
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}+3 n+1}{\left(n^{2}+n\right)^{2}}.
Informações dadas que vamos usar:
\text{termo geral } a_n=\frac{n^{2}+3 n+1}{\left(n^{2}+n\right)^{2}}=\frac{n^{2}+3 n+1}{n^{2}(n+1)^{2}}.
O enunciado também orienta a usar decomposição em frações parciais para obter uma expressão conveniente para a soma parcial e, em seguida, obter a soma da série. Depois pede verificar com um CAS.

Passo 2

Vamos decompor o termo geral em frações parciais. A forma natural, porque o denominador é n^{2}(n+1)^{2}\), é \[\frac{n^{2}+3 n+1}{n^{2}(n+1)^{2}}=\frac{A}{n}+\frac{B}{n^{2}}+\frac{C}{n+1}+\frac{D}{(n+1)^{2}}.
Explicando por que: cada fator linear ou quadrado do denominador gera termos correspondentes; incluímos 1/n e 1/n^2 por causa de n^2 e análogamente para n+1.
Multiplicamos ambos os lados por n^{2}(n+1)^{2} para obter uma identidade polinomial:
n^{2}+3n+1 = A\,n(n+1)^{2} + B\,(n+1)^{2} + C\,n^{2}(n+1) + D\,n^{2}.
Agora expandimos os termos à direita. Observando (n+1)^{2}=n^{2}+2n+1,
A\,n(n+1)^{2}=A(n^{3}+2n^{2}+n)=A n^{3}+2A n^{2}+A n,
B(n+1)^{2}=B n^{2}+2B n+B,
C\,n^{2}(n+1)=C(n^{3}+n^{2})=C n^{3}+C n^{2},
D n^{2}=D n^{2}.
Somando tudo e agrupando coeficientes por potências de n, obtemos
(A+C)n^{3} + (2A+B+C+D)n^{2} + (A+2B)n + B.
Essa expressão deve ser igual a 0\cdot n^{3} + 1\cdot n^{2} + 3\cdot n + 1. Igualando coeficientes chegamos ao sistema:
\begin{cases} A + C = 0,\\[4pt] 2A + B + C + D = 1,\\[4pt] A + 2B = 3,\\[4pt] B = 1. \end{cases}
Como B=1\], da terceira equação \(A+2\cdot 1=3 vem A=1. Da primeira C=-A=-1. Substituindo em segunda: 2\cdot1 +1 +(-1) + D =1 2 + D =1, logo D=-1.
Portanto a decomposição é
\frac{n^{2}+3 n+1}{n^{2}(n+1)^{2}} = \frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}} - \frac{1}{n+1} - \frac{1}{(n+1)^{2}}.]

Passo 3

Agora vamos usar essa decomposição para somar parcialmente e observar o telescoping. Definimos a soma parcial
S_{N}=\sum_{n=1}^{N}\frac{n^{2}+3 n+1}{\left(n^{2}+n\right)^{2}}=\sum_{n=1}^{N}\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{n^{2}}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{(n+1)^{2}}\right).
Separamos em duas somas que telescopam:
\sum_{n=1}^{N}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right) \quad\text{e}\quad \sum_{n=1}^{N}\left(\frac{1}{n^{2}}-\frac{1}{(n+1)^{2}}\right).
A primeira soma telescopa porque os termos internos cancelam: escrevendo os primeiros termos,
\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{N}-\frac{1}{N+1}\right)=1-\frac{1}{N+1}.
A segunda soma também telescopa:
\left(\frac{1}{1^{2}}-\frac{1}{2^{2}}\right)+\left(\frac{1}{2^{2}}-\frac{1}{3^{2}}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{N^{2}}-\frac{1}{(N+1)^{2}}\right)=1-\frac{1}{(N+1)^{2}}.
Somando os dois resultados obtemos a expressão fechada para a soma parcial:
S_{N} = \left(1-\frac{1}{N+1}\right) + \left(1-\frac{1}{(N+1)^{2}}\right) = 2 - \frac{1}{N+1} - \frac{1}{(N+1)^{2}}.
Para a soma infinita, fazemos o limite quando N\to\infty. Como \frac{1}{N+1}\to 0 e \frac{1}{(N+1)^{2}}\to 0, segue
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{2}+3 n+1}{\left(n^{2}+n\right)^{2}} = \lim_{N\to\infty} S_{N} = 2.

Passo 4

Breve aula sobre os passos essenciais (para você levar para a prova, tipo receita prática):
  • Observação do denominador: escreva sempre n^{2}+n=n(n+1). Quando aparece (n(n+1))^{2}, pense em termos \frac{A}{n}+\frac{B}{n^{2}}+\frac{C}{n+1}+\frac{D}{(n+1)^{2}}.
  • Multiplique por todo o denominador comum e iguale coeficientes de potências de n. Isso é um sistema linear simples para resolver A,B,C,D.
  • Depois de decompor, separe somas do tipo \sum (\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}) ou \sum(\frac{1}{n^{2}}-\frac{1}{(n+1)^{2}}) — essas telescopam: praticamente tudo cancela, sobrando apenas as fronteiras (primeiro e último termos).
  • Sempre calcule a soma parcial S_N para ver o termo que vai a zero quando N\to\infty.
Exemplo curto extra: a soma \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right) tem soma 1 porque a soma parcial é 1-\frac{1}{N+1} e o limite é 1.
Você conseguiu! Mesmo desesperado dá pra fazer assim passo a passo. Confie que decomposição + telescoping é um truque poderoso para séries racionais.

Passo 5

Verificação usando um CAS (comandos que você pode colar):
  • WolframAlpha: escreva “sum (n^2+3 n+1)/(n2+n)2, n=1 to infinity” — resultado retornará 2.
  • Mathematica: use
\text{Sum}\left[\frac{n^{2}+3 n+1}{(n^{2}+n)^{2}},\{n,1,\infty\}\right]
que retorna 2.
  • SymPy (Python):
    from sympy import summation, symbols, oo\nn = symbols(‘n’)\nsummation((n2+3*n+1)/(n2+n)**2, (n,1,oo))
    retorna 2.
Esses comandos confirmam que a soma é 2.

Resposta

2

Exercícios relacionados